Seja a in R. Considere B= (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) a base canônica de R^3. Considere T: R^3 R^3 a transformação linear tal que
[T]B, B=(ccc a & 0 & 0 3 & 2 & 0 6 & 2 & a )
Podemos afirmar que
(a) se a=1, então T é diagonalizável
(b) se a=2, então T é diagonalizável
(c) se a=-1, então T é diagonalizável
(d) se a=-2, então T é diagonalizável
(e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.

Passo 1

Beleza, o enunciado é o seguinte: temos a transformação linear T: R^3to R^3 cuja matriz na base canônica é
[T]B,B= a & 0 & 0 3 & 2 & 0 6 & 2 & a
Queremos descobrir para quais valores de a essa parada é diagonalizável. Aqui vamos usar autovalores, autovetores, multiplicidade algébrica e geométrica.

Passo 2

Como a matriz é triangular (tem zeros acima da diagonal), os autovalores são só as entradas da diagonal. Então
lambda1=a, lambda2=2, lambda3=a
Ou seja, lambda=a tem multiplicidade algébrica 2 e lambda=2 tem multiplicidade algébrica 1 (a menos que a=2, aí vira mult.\ alg.\ 3).

Passo 3

O critério de diagonalização diz que a soma das multiplicidades geométricas deve dar 3 (o tamanho da matriz). Autovalor simples (mult.\ alg.\ 1) sempre tem mult.\ geom.\ 1, sem estresse. O lance é lambda=a com mult.\ alg.\ 2: precisamos ver se
dimker(A - aI)=2
Montamos
A - aI = 0 & 0 & 0 3 & 2-a & 0 6 & 2 & 0 ,
e lembramos que
dimker(A-aI) ;=; 3 - rank(A-aI)

Passo 4

As linhas de A-aI são (0,0,0), (3,2-a,0) e (6,2,0). Se a segunda e a terceira linha forem múltiplos uma da outra, o posto cai para 1 e a nulidade fica 2 (justo o que a gente quer). A condição é
(6,2) = 2cdot(3,2-a) ;Long<=ftrightarrow; 2 = 2(2-a) ;Long<=ftrightarrow; a=1
Logo, só em a=1 a mult.\ geom.\ de lambda=a bate com a algébrica. Se aneq1, dá rank 2 e nulidade 1<2, então não diagonaliza. No caso isolado a=2, o autovalor 2 viraria mult.\ alg.\ 3, mas aí A-2I tem posto 2 e nulidade 1<3, também não diagonaliza.

Resposta

A única opção que funciona é a=1, ou seja, a letra (a) está correta.

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