Seja
um espaço vetorial sobre
e
uma transformação linear. Considere as afirmações a seguir.
(I) Se
possui autovetores
e
associados aos autovalores distintos
e
respectivamente, então
é linearmente independente.
(II) Se
é autovalor de
e
é isomorfismo, então
e
é autovalor de
.
(III) Se
, em que
, então
possui no máximo
autovalores não nulos.
Podemos afirmar que
(a)
e (III) são verdadeiras
(b) Apenas (
) e (
) são verdadeiras
(c)
e (III) são falsas
(d) Apenas (I) e (III) são verdadeiras.
(e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
(I) Se
(II) Se
(III) Se
(a)
(b) Apenas (
(c)
(d) Apenas (I) e (III) são verdadeiras.
(e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
Passo 1
Beleza, o enunciado manda a gente analisar três afirmações sobre uma transformação linear
num espaço vetorial sobre
. O assunto-chave aqui é autovalor/autovetor, independência linear, isomorfismo (invertibilidade) e dimensão da imagem (posto). Para resolver, vamos precisar de:
- Definição de autovalor e autovetor;
- Propriedade de que autovetores com autovalores distintos são independentes;
- Fato de que, se
é invertível e , então e é autovalor de ; - Teorema do posto (rank–nullity) e ideia de colocar autovetores não nulos dentro da imagem de
.
Passo 2
Prova de (I): “Se
tem autovetores
associados a
, então
é LI.”
- Por definição,
e . - Suponha
. Aplicando :
- Subtraindo
da equação acima, vem
- Como
e , segue . Pelo mesmo raciocínio . Logo são LI.
Passo 3
Prova de (II): “Se
é autovalor de
e
é isomorfismo, então
e
é autovalor de
.”
-
invertível implica . Se com , então , ou seja, . - Aplicando
em :
- Reescrevendo,
ou seja,
é autovetor de
com autovalor
.
Passo 4
Prova de (III): “Se
, então
tem no máximo
autovalores não nulos.”
- Se
é autovalor, seu autovetor satisfaz , logo . - Autovalores distintos dão autovetores distintos e, pelo Passo 2, independentes.
- Assim, cada autovalor não nulo “cria” pelo menos um vetor independente em
. - Como a dimensão de
é , não dá para ter mais de autovetores independentes — ou seja, no máximo autovalores não nulos (distintos).
Passo 5
Concluindo: (I) é verdadeira, (II) é verdadeira e (III) é verdadeira.
Resposta
Letra (a).