Seja V um espaço vetorial sobre R e T: V V uma transformação linear. Considere as afirmações a seguir.
(I) Se T possui autovetores u1 e u2 associados aos autovalores distintos lambda1 e lambda2 respectivamente, então u1, u2 é linearmente independente.
(II) Se lambda in R é autovalor de T e T é isomorfismo, então lambda neq 0 e lambda^-1 é autovalor de T^-1.
(III) Se dim ImT=m, em que m in N-0, então T possui no máximo m autovalores não nulos.
Podemos afirmar que
(a) (I),(I I) e (III) são verdadeiras
(b) Apenas ( I ) e ( I I ) são verdadeiras
(c) (I),(I I) e (III) são falsas
(d) Apenas (I) e (III) são verdadeiras.
(e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente analisar três afirmações sobre uma transformação linear T:Vto V num espaço vetorial sobre R. O assunto-chave aqui é autovalor/autovetor, independência linear, isomorfismo (invertibilidade) e dimensão da imagem (posto). Para resolver, vamos precisar de:
  • Definição de autovalor e autovetor;
  • Propriedade de que autovetores com autovalores distintos são independentes;
  • Fato de que, se T é invertível e T(u)=lambda u, então lambdaneq0 e lambda^-1 é autovalor de T^-1;
  • Teorema do posto (rank–nullity) e ideia de colocar autovetores não nulos dentro da imagem de T.

Passo 2

Prova de (I): “Se T tem autovetores u1,u2 associados a lambda1neqlambda2, então u1,u2 é LI.”
  1. Por definição,
    T(u1)=lambda1u1 e T(u2)=lambda2u2.
  2. Suponha a,u1+b,u2=0. Aplicando T:
a,lambda1u1 + b,lambda2u2 = 0
  1. Subtraindo lambda2l(a,u1+b,u2r)=0 da equação acima, vem
a(lambda1-lambda2),u1 = 0
  1. Como lambda1neqlambda2 e u1neq0, segue a=0. Pelo mesmo raciocínio b=0. Logo são LI.

Passo 3

Prova de (II): “Se lambda é autovalor de T e T é isomorfismo, então lambdaneq0 e lambda^-1 é autovalor de T^-1.”
  1. T invertível implica ker T=0. Se T(u)=lambda u com uneq0, então lambda uneq0, ou seja, lambdaneq0.
  2. Aplicando T^-1 em T(u)=lambda u:
u = T^-1(lambda u) = lambda,T^-1(u)
  1. Reescrevendo,
T^-1(u) = lambda^-1 u,
ou seja, u é autovetor de T^-1 com autovalor lambda^-1.

Passo 4

Prova de (III): “Se dimIm T = m, então T tem no máximo m autovalores não nulos.”
  1. Se lambdaneq0 é autovalor, seu autovetor u satisfaz T(u)=lambda uneq0, logo uinIm T.
  2. Autovalores distintos dão autovetores distintos e, pelo Passo 2, independentes.
  3. Assim, cada autovalor não nulo “cria” pelo menos um vetor independente em Im T.
  4. Como a dimensão de Im T é m, não dá para ter mais de m autovetores independentes — ou seja, no máximo m autovalores não nulos (distintos).

Passo 5

Concluindo: (I) é verdadeira, (II) é verdadeira e (III) é verdadeira.

Resposta

Letra (a).

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