Sejam transformações lineares, as quais satisfazem satisfazem para todo que
Assinalar a alternativa correta:
(a) e são isomorfismos.
(b) Apenas é isomorfismo.
(c) Apenas é isomorfismo.
(d) Apenas e são isomorfismos.
(e) Apenas e são isomorfismos.
Passo 1
A gente tem três transformações lineares
definidas por
A pergunta é: quais dessas são isomorfismos?
Matéria envolvida: transformações lineares, isomorfismo (equivale a matriz invertível), matriz na base canônica, determinante.
O que precisamos: montar a matriz de cada na base padrão e calcular . Se , é isomorfismo.
Passo 2
Para achar a matriz de , aplicamos em cada vetor da base canônica :
Então a matriz de é
Passo 3
Agora calculamos det M1. Usando expansão por cofatores na primeira linha:
det M1 =1cdot0&11&1 -(-1)cdot-1&10&1 +0cdotcdots =1,(0cdot1-1cdot1)-(-1),(-1cdot1-1cdot0) =-1-1 =-2neq0