Sejam T1: R^3 R^3, T2: R^3 R^3, T3: R^3 R^3 transformações lineares, as quais satisfazem satisfazem para todo (a, b, c) in R^3 que
& T1(a, b, c)=(a-b, c-a, b+c), & T2(a, b, c)=(a-b, a-c,-c-b), & T3(a, b, c)=T1(a, b, c)+T2(a, b, c)
Assinalar a alternativa correta:
(a) T1, T2 e T3 são isomorfismos.
(b) Apenas T1 é isomorfismo.
(c) Apenas T2 é isomorfismo.
(d) Apenas T1 e T3 são isomorfismos.
(e) Apenas T1 e T2 são isomorfismos.

Passo 1

A gente tem três transformações lineares
T1,T2,T3:R^3toR^3
definidas por
&T1(a,b,c)=(a-b,;c-a,;b+c), &T2(a,b,c)=(a-b,;a-c,;-c-b), &T3=T1+T2
A pergunta é: quais dessas são isomorfismos?
Matéria envolvida: transformações lineares, isomorfismo (equivale a matriz invertível), matriz na base canônica, determinante.
O que precisamos: montar a matriz de cada Ti na base padrão e calcular det. Se detneq0, é isomorfismo.

Passo 2

Para achar a matriz de T1, aplicamos em cada vetor da base canônica
e1=(1,0,0),; e2=(0,1,0),; e3=(0,0,1):
&T1( e1)=(1-0,;0-1,;0+0)=(1,-1,0), &T1( e2)=(0-1,;0-0,;1+0)=(-1,0,1), &T1( e3)=(0-0,;1-0,;0+1)=(0,1,1)
Então a matriz de T1 é
M1 = 1 & -1 & 0 -1 & 0 & 1 0 & 1 & 1

Passo 3

Agora calculamos det M1. Usando expansão por cofatores na primeira linha:
det M1 =1cdot0&11&1 -(-1)cdot-1&10&1 +0cdotcdots =1,(0cdot1-1cdot1)-(-1),(-1cdot1-1cdot0) =-1-1 =-2neq0
Como det M1neq0, T1 é isomorfismo.

Passo 4

Para T2, fazemos o mesmo:
&T2( e1)=(1-0,;1-0,;0-0)=(1,1,0), &T2( e2)=(0-1,;0-0,;0-1)=(-1,0,-1), &T2( e3)=(0-0,;0-1,;-1-0)=(0,-1,-1)
Logo
M2 = 1 & -1 & 0 1 & 0 & -1 0 & -1 & -1

Passo 5

Calculemos det M2:
det M2 =1cdot0&-1-1&-1 -(-1)cdot1&-10&-1 +0 =1,(0cdot(-1)-(-1)cdot(-1)) -(-1),(1cdot(-1)-(-1)cdot0) =-1-1 =-2neq0
Como det M2neq0, T2 também é isomorfismo.

Passo 6

Para T3=T1+T2, basta somar as matrizes:
M3=M1+M2 =1&-1&0-1&0&10&1&1 +1&-1&01&0&-10&-1&-1 =2&-2&00&0&00&0&0
Aqui já vemos que há linhas inteiras de zeros, logo
det M3=0 e T3 não é isomorfismo.

Resposta

Apenas T1 e T2 são isomorfismos.

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