Seja v=(2,3) in R^2 e considere as bases
B=(1,0),(0,1) e B^prime=(0,1),(2,3)
(a) Encontre as coordenadas de v em relação às bases B e B^prime.
(b) Determine as matrizes de mudança de base MB^prime^B e MB^B^prime.
(c) Use suas respostas [v]B e MB^prime^B dos itens (a) e (b), respectivamente, para calcular [v]B^prime. Compare com o resultado [v]B^prime obtido no item (a).

Passo 1

O enunciado dá o vetor v=(2,3) em R^2 e as bases
B=(1,0),(0,1) e B'=(0,1),(2,3).
Pede (a) as coordenadas de v em cada base; (b) as matrizes de mudança de base
MB'^B e MB^B'; (c) usar os resultados para verificar [v]B'.

Passo 2

Para a base B, que é a base padrão, basta ler diretamente as componentes de v. Logo,
[v]B = 23

Passo 3

Para achar [v]B', escrevemos
alpha,(0,1) + beta,(2,3) = (2,3),
o que dá o sistema
2beta = 2, alpha + 3beta = 3
Daí beta=1 e alpha=0, logo
[v]B' = 01

Passo 4

A matriz de mudança de base
,MB'^B vai de coordenadas em B' para B
e tem colunas formadas pelas coordenadas, em B, dos vetores de B'. Assim,
MB'^B = 0 & 2 1 & 3 ,
pois (0,1) e (2,3) são as colunas.

Passo 5

A matriz inversa
MB^B' = (MB'^B)^-1
é calculada por
det = 0cdot3 - 1cdot2 = -2, (MB'^B)^-1 = 1-23 & -2 -1 & 0 = -tfrac32 & 1 tfrac12 & 0
Logo,
MB^B' = -tfrac32 & 1 tfrac12 & 0

Passo 6

Para verificar usando e , resolvemos
Da primeira linha , e da segunda . Logo
coincidindo com o item (a).

Resposta

(a) [v]B = 23,
[v]B' = 01.
(b)
MB'^B = 0 & 2 1 & 3,
MB^B' = -tfrac32 & 1 tfrac12 & 0
(c) [v]B' = 01, confirmando o resultado do item (a).

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