Verifique se o operador linear tal que é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado define o operador linear dado por
O conteúdo é diagonalização de operador: vamos achar a matriz de na base canônica, calcular os valores próprios (multiplicidade algébrica) e a dimensão dos autespaços (multiplicidade geométrica).
Passo 2
Na base canônica , temos
Logo a matriz de é
Passo 3
Como A é triangular, os valores próprios estão na diagonal. São todos iguais a lambda = 1, com multiplicidade algébrica 4:
chiA(lambda) = (1-lambda)^4
Passo 4
O autespaço para é . Escrevendo ,
Dessa equação segue , , e livre. Logo o autespaço tem dimensão 1.
Passo 5
A multiplicidade geométrica de lambda=1 é 1, menor que a multiplicidade algébrica 4. Portanto A (e T) não é diagonalizável.