Verifique se o operador linear T: R^4 R^4 tal que T(x, y, z, w)=(x, x+y, x+y+z, x+y+z+w) é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado define o operador linear Tcolon R^4 to R^4 dado por
T(x,y,z,w) = (,x,;x+y,;x+y+z,;x+y+z+w,)
O conteúdo é diagonalização de operador: vamos achar a matriz de T na base canônica, calcular os valores próprios (multiplicidade algébrica) e a dimensão dos autespaços (multiplicidade geométrica).

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3,e4, temos
T(e1) = (1,1,1,1), T(e2) = (0,1,1,1), T(e3) = (0,0,1,1), T(e4) = (0,0,0,1)
Logo a matriz de T é
A = 1 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & 1

Passo 3

Como A é triangular, os valores próprios estão na diagonal. São todos iguais a lambda = 1, com multiplicidade algébrica 4:
chiA(lambda) = (1-lambda)^4

Passo 4

O autespaço para é . Escrevendo ,
Dessa equação segue , , e livre. Logo o autespaço tem dimensão 1.

Passo 5

A multiplicidade geométrica de lambda=1 é 1, menor que a multiplicidade algébrica 4. Portanto A (e T) não é diagonalizável.

Resposta

T não é diagonalizável.

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