Seja 0. Considere a função
Mostre que p é uma função de probabilidade.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma função
p(x)= (1-a),a^x, & se x=0,1,2,dots 0, & caso contrário, á
com .
Isso aí é do conteúdo de Distribuições Discretas em Probabilidade — mais especificamente, é a tal da distribuição geométrica “deslocada” (ou seja, no suporte ).
Para mostrar que é uma função de probabilidade (ou seja, uma função massa de probabilidade), precisamos verificar dois pontos básicos:
  1. para todo .
  2. .

Passo 2

Primeiro, vejamos a não-negatividade.
  • Se não está em , então , ou seja, não é negativa.
  • Se , aí temos .
    • Sabemos que , logo .
    • E .
    • O produto de duas coisas positivas é positivo, então .
      Concluímos então que para todo .

Passo 3

Agora, o somatório total das probabilidades tem que dar 1:
sumxinZp(x) =sumx=0^infty(1-a),a^x ,+sumxnotin0,1,2,dots0
A segunda soma é zero, então fica
sumx=0^infty(1-a),a^x

Passo 4

Lembra da soma de uma série geométrica? Se sumx=0^inftyr^x=11-r ,
sumx=0^inftya^x=11-a
Aqui sumx=0^infty(1-a),a^x =(1-a),11-a =1 , e de fato . Então
Multiplicando tudo por , obtemos

Resposta

Como para todo e , a função satisfaz as duas condições de uma função massa de probabilidade. Portanto, é uma função de probabilidade.

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