Seja
. Considere a função
Mostre que p é uma função de probabilidade.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma função
com
.
Isso aí é do conteúdo de Distribuições Discretas em Probabilidade — mais especificamente, é a tal da distribuição geométrica “deslocada” (ou seja, no suporte ).
Para mostrar que é uma função de probabilidade (ou seja, uma função massa de probabilidade), precisamos verificar dois pontos básicos:
Isso aí é do conteúdo de Distribuições Discretas em Probabilidade — mais especificamente, é a tal da distribuição geométrica “deslocada” (ou seja, no suporte
Para mostrar que
-
para todo . -
.
Passo 2
Primeiro, vejamos a não-negatividade.
- Se
não está em , então , ou seja, não é negativa. - Se
, aí temos . - Sabemos que
, logo . - E
. - O produto de duas coisas positivas é positivo, então
.
Concluímos então quepara todo .
- Sabemos que
Passo 3
Agora, o somatório total das probabilidades tem que dar 1:
A segunda soma é zero, então fica
Passo 4
Lembra da soma de uma série geométrica? Se
,
Aqui
, e de fato
. Então
Multiplicando tudo por
, obtemos
Resposta
Como
para todo
e
, a função
satisfaz as duas condições de uma função massa de probabilidade. Portanto,
é uma função de probabilidade.