Seja V=R^3. Considere os vetores e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3=(0,0,1). Verificar se todo vetor v in V se escreve como combinação linear de e1, e2 e e3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto e1,e2,e3subset V, onde V=R^3 e
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1),
é gerador de V. Para isso precisamos usar o conceito de combinação linear: dizer que todo vetor vin V pode ser escrito como
v = a1e1 + a2e2 + a3e3
para certos escalares a1,a2,a3.

Passo 2

Seja um vetor genérico em V dado por
v = (x,y,z),
com x,y,zinR. Nosso objetivo é encontrar escalares a1,a2,a3 tais que
v = a1e1 + a2e2 + a3e3

Passo 3

Escrevendo explicitamente a combinação linear, temos
a1e1 + a2e2 + a3e3 = a1(1,0,0) + a2(0,1,0) + a3(0,0,1) = (a1,,a2,,a3)

Passo 4

Para que (a1,a2,a3) seja igual a (x,y,z), basta escolher
a1=x, a2=y, a3=z
Esses valores sempre existem e são únicos.

Passo 5

Como para qualquer (x,y,z)inR^3 encontramos escalares a1,a2,a3 que satisfazem
(x,y,z) = a1e1 + a2e2 + a3e3,
concluímos que e1,e2,e3 gera todo o espaço V.

Resposta

Sim. Todo vetor v=(x,y,z)inR^3 pode ser escrito como
v = x,e1 + y,e2 + z,e3

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