Verifique se o conjunto de funções
é linearmente dependente ou independente em
nos seguintes casos:
(iv)
(iv)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções
é linearmente independente no espaço vetorial (funções contínuas em
). Vamos usar a definição:
é independente se a única combinação linear que gera a função zero é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero).
é linearmente independente no espaço vetorial
Passo 2
Considere a combinação linear genérica
que deve valer para todo
. Nosso objetivo é mostrar que
.
Passo 3
Avalie a equação em
e
:
- Para
: , , dá - Para
: , , dá
Somando as duas equações, obtemos
, ou seja
. Substituindo em
vem
.
Passo 4
Avalie agora em
:
,
,
. A equação fica
Como já sabemos
e
, isso leva a
e daí
.
Passo 5
Chegamos a
, ou seja, a única combinação linear que anula todas as funções é a trivial. Logo, as funções são linearmente independentes.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente em
.