Verifique se o conjunto de funções B é linearmente dependente ou independente em C(R) nos seguintes casos:
(iv) B=cos t, cos 2 t, cos 3 t

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções
B = cos t,;cos 2t,;cos 3t
é linearmente independente no espaço vetorial C(R) (funções contínuas em R). Vamos usar a definição: B é independente se a única combinação linear que gera a função zero é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero).

Passo 2

Considere a combinação linear genérica
alpha,cos t + beta,cos 2t + gamma,cos 3t = 0
que deve valer para todo tinR. Nosso objetivo é mostrar que alpha=beta=gamma=0.

Passo 3

Avalie a equação em t=0 e t=pi:
  • Para t=0: cos0=1, cos0=1, cos0=1 alpha + beta + gamma = 0
  • Para t=pi: cospi=-1, cos2pi=1, cos3pi=-1 -alpha + beta - gamma = 0
Somando as duas equações, obtemos 2beta=0, ou seja beta=0. Substituindo em alpha+beta+gamma=0 vem gamma=-alpha.

Passo 4

Avalie agora em t=pi/3:
cos(pi/3)=tfrac12, cos(2pi/3)=-tfrac12, cospi=-1. A equação fica
alpha2 ;-;beta2;-;gamma ;=;0
Como já sabemos beta=0 e gamma=-alpha, isso leva a
alpha2 - (-alpha) = 0 Longrightarrow alpha2 + alpha = 0 Longrightarrow 3alpha2=0 Longrightarrow alpha=0,
e daí gamma=-alpha=0.

Passo 5

Chegamos a alpha=beta=gamma=0, ou seja, a única combinação linear que anula todas as funções é a trivial. Logo, as funções são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto B=cos t,cos2t,cos3t é linearmente independente em C(R).

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