Verifique se o conjunto de funções B é linearmente dependente ou independente em C(R) nos seguintes casos:
(vi) B=e^2 t, e^3 t cos 4 t, e^3 t sen 4 t

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de funções
B=e^2t,,e^3tcos4t,,e^3tsin4t
é linearmente dependente ou independente em C(R).
O conteúdo envolve a noção de independência linear de funções e o teste do Wronskiano.

Passo 2

Para três funções f1,f2,f3 suficientemente diferenciáveis, definimos o Wronskiano
W(t)=det f1(t) & f2(t) & f3(t) f1'(t)& f2'(t)& f3'(t) f1''(t)& f2''(t)& f3''(t)
Se existir t0 tal que W(t0)neq0, então f1,f2,f3 são linearmente independentes.

Passo 3

Identificamos
f1(t)=e^2t, f2(t)=e^3tcos4t, f3(t)=e^3tsin4t
e calculamos as derivadas necessárias:
f1'(t)&=2e^2t,& f1''(t)&=4e^2t, f2'(t)&=e^3t(3cos4t-4sin4t),& f2''(t)&=e^3t(-7cos4t-24sin4t), f3'(t)&=e^3t(3sin4t+4cos4t),& f3''(t)&=e^3t(24cos4t-7sin4t)

Passo 4

Vamos avaliar W(t) em t=0. Primeiro obtemos os valores em t=0:
f1(0)&=1,& f1'(0)&=2,& f1''(0)&=4, f2(0)&=1,& f2'(0)&=3,& f2''(0)&=-7, f3(0)&=0,& f3'(0)&=4,& f3''(0)&=24

Passo 5

O Wronskiano em t=0 fica
W(0)= det 1 & 1 & 0 2 & 3 & 4 4 & -7 & 24 =1cdot(3cdot24-4cdot(-7)) -1cdot(2cdot24-4cdot4) = (72+28)-(48-16)=100-32=68neq0

Passo 6

Como W(0)neq0, concluímos que as três funções são linearmente independentes em C(R).

Resposta

O conjunto e^2t,,e^3tcos4t,,e^3tsin4t é linearmente independente em C(R).

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