Seja V um espaço vetorial e seja A=u, v, w um subconjunto linearmente independente de V. Considere as seguintes afirmações:
I. [u+v, u+w, v+w]=[u, v, w].
II. O conjunto u, u+v, u+w é linearmente independente.
III. [u+v, u+w, v-w]=[u, v, w].
IV. O conjunto u-w, u+v, u+w é linearmente independente.
Está correto o que se afirma em

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial V e três vetores u,v,w que são linearmente independentes. Precisamos analisar quatro afirmações sobre spans e independência dos vetores obtidos por somas e diferenças de u,v,w. Usaremos duas ideias principais: (i) para comparar spans, mostramos que a matriz de mudança de base entre u,v,w e o novo conjunto é invertível (determinante não nulo); (ii) para conferir independência, fazemos uma combinação linear genérica e usamos a independência de u,v,w para forçar os coeficientes a zero.

Passo 2

Analisando a afirmação I:
Queremos verificar
[;u+v,;u+w,;v+w;];=;[,u,v,w,]
Escrevemos
x1 = u+v, x2 = u+w, x3 = v+w
e montamos a matriz de coeficientes na base u,v,w:
M = 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1
Calculamos
det(M) =1cdotdet!0&11&1 -1cdotdet!1&10&1 =1cdot(-1)-1cdot(1)= -2neq0
Como det(M)neq0, há mudança de base invertível e, portanto, os spans coincidem. Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação II:
É o conjunto u,;u+v,;u+w. Suponha
a,u + b,(u+v) + c,(u+w) = 0
Isso equivale a
(a+b+c),u ;+; b,v ;+;(c),w ;=;0
Como u,v,w é independente, os coeficientes devem zerar:
b=0, c=0, a+b+c=0;Rightarrow;a=0
Todos os coeficientes são zero, logo u,u+v,u+w é independente. II é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação III:
Queremos ver se
[;u+v,;u+w,;v-w;];=;[,u,v,w,]
Montamos a matriz de coeficientes
N = 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & -1
e calculamos
det(N) =1cdotdet!0&11&-1 -1cdotdet!1&10&-1 =1cdot(-1)-1cdot(-1)=0
Determinante zero implica dependência linear nos vetores novos, de modo que o span não tem dimensão 3 e não coincide com [u,v,w]. III é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmação IV:
O conjunto é ,u-w,;u+v,;u+w. Seja
a,(u-w)+b,(u+v)+c,(u+w)=0
Reescrevendo,
(a+b+c),u ;+; b,v ;+;(-a+c),w ;=;0
Pela independência de u,v,w, temos
b=0, -a+c=0;Rightarrow;c=a, a+b+c=0;Rightarrow;2a=0;Rightarrow;a=0,
daí b=c=0. Todos coeficientes nulos mostram independência. IV é verdadeira.

Resposta

I, II e IV são corretas.

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