Seja um espaço vetorial e seja um subconjunto linearmente independente de . Considere as seguintes afirmações:
I. .
II. O conjunto é linearmente independente.
III. .
IV. O conjunto é linearmente independente.
Está correto o que se afirma em
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial e três vetores que são linearmente independentes. Precisamos analisar quatro afirmações sobre spans e independência dos vetores obtidos por somas e diferenças de . Usaremos duas ideias principais: (i) para comparar spans, mostramos que a matriz de mudança de base entre e o novo conjunto é invertível (determinante não nulo); (ii) para conferir independência, fazemos uma combinação linear genérica e usamos a independência de para forçar os coeficientes a zero.