Seja V=K2(x). Verificar se o polinômio Q2(x)=x^2+4 x+7 se escreve como combinação linear de P0(x)=1, P1(x)=x+2 e P2(x)=x^2+2 x-1.

Passo 1

O enunciado define V=K2(x) (polinômios de grau <=2) e pede para verificar se o polinômio
Q2(x)=x^2+4x+7
pode ser expresso como combinação linear dos polinômios
P0(x)=1, P1(x)=x+2, P2(x)=x^2+2x-1
O conteúdo aqui é combinação linear em espaço vetorial, e vamos buscar escalares a,b,c tais que
a,P0(x)+b,P1(x)+c,P2(x)=Q2(x)

Passo 2

Escrevendo a combinação e agrupando termos em potências de x:
acdot1 ;+; b(x+2);+; c(x^2+2x-1) ;=; c,x^2 ;+;(b+2c),x;+;(a+2b-c)

Passo 3

Igualando aos coeficientes de Q2(x)=x^2+4x+7, formamos o sistema
c = 1, b + 2c = 4, a + 2b - c = 7

Passo 4

De c=1 tiramos b+2=4, logo b=2. Substituindo em a+2b-c=7 fica a+4-1=7, daí a=4. Assim existem a,b,c que satisfazem a combinação.

Resposta

Sim.
Q2(x)=4,P0(x)+2,P1(x)+1,P2(x)

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