Seja V=R^3. Considere os vetores c1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e c3=(0,0,1). Verificar se todo vetor v in V pode ser escrito como combinação linear de e1, e2 e e3.

Passo 1

O enunciado trabalha com o espaço vetorial V=R^3 e os vetores
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)
Queremos mostrar que todo vetor vin V pode ser escrito como combinação linear de e1,e2,e3. O conteúdo é geração (span) em espaços vetoriais.

Passo 2

Seja um vetor genérico
v=(v1,v2,v3)inR^3
Procuramos escalares alpha,beta,gammainR tais que
alpha,e1+beta,e2+gamma,e3 = (alpha,0,0)+(0,beta,0)+(0,0,gamma) =(alpha,beta,gamma)
seja igual a (v1,v2,v3).

Passo 3

Igualando coordenadas de
(alpha,beta,gamma)=(v1,v2,v3)
vemos que necessariamente
alpha=v1, beta=v2, gamma=v3
Logo, sempre existem esses coeficientes.

Passo 4

Concluímos que, para qualquer v=(v1,v2,v3),
v=v1,e1+v2,e2+v3,e3
Isto mostra que e1,e2,e3 gera todo o R^3.

Resposta

Sim. Todo vetor v=(v1,v2,v3)inR^3 pode ser escrito como
v=v1,e1+v2,e2+v3,e3

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