Seja V=M2 times 2. Verificar se A=(cc1 & 3 2 & -1) se escreve como combinação linear de:
E1=(ll 1 & 1 1 & 0 ), E2=(ll 0 & 0 1 & 1 ) e E3=(cc 0 & 1 0 & -1 )

Passo 1

O espaço vetorial é V=M2times2 e queremos ver se a matriz
A = 1 & 3 2 & -1
está no span de
E1=1 & 1 1 & 0, E2=0 & 0 1 & 1, E3=0 & 1 0 & -1
O conteúdo é combinação linear de matrizes: buscamos escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha E1+beta E2+gamma E3=A.

Passo 2

Calculemos a combinação
alpha E1+beta E2+gamma E3 = alpha & alpha [6pt] alpha & 0 + 0 & 0 [3pt] beta & beta + 0 & gamma [3pt] 0 & -gamma = alpha & alpha+gamma [6pt] alpha+beta & beta-gamma ]

Passo 3

Para que isso seja igual a A, igualamos entrada a entrada, obtendo o sistema
alpha = 1, alpha + gamma = 3, alpha + beta = 2, beta - gamma = -1

Passo 4

Da primeira equação vem alpha=1. Substituindo em alpha+gamma=3 gamma=2.
Em alpha+beta=2 aparece beta=1.
Verificando a última equação:
beta-gamma = 1 - 2 = -1,
confirma-se que não há contradição.

Resposta

Sim.
A = 1cdot E1 + 1cdot E2 + 2cdot E3

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