Seja S consistindo de quatro lados e face inferior e superior do cubo com vértices ( pm a, pm a, pm a). Oriente S com vetores normais apontando para fora. Calcule integral duplaS(nabla times F) cdot d S, onde F= x^2 y z^3 i+x^2 y j+x e^x sen(y z) k.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície S de um cubo centrado na origem com arestas de comprimento 2a, orientada externamente, e pede o fluxo de nablatimes F através de S, onde
F=x^2y z^3,i+x^2y,j+x e^xsen(yz),k
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema da Divergência aplicado ao campo vetorial nablatimesF.

Passo 2

Pelo Teorema da Divergência (ou de Gauss), para qualquer campo vetorial G suave e uma superfície fechada S que delimita o volume V, vale
integral duplaSGcdot dS =integral triplaVnablacdot G,dV
Aqui tomamos G=nablatimesF.

Passo 3

Usamos a identidade vetorial
nablacdotl(nablatimesFr)=0,
válida sempre que F for suficientemente suave. Logo
integral triplaVnablacdotl(nablatimesFr),dV =integral triplaV0,dV=0
Pelo Teorema da Divergência, isso implica
integral duplaS(nablatimes F)cdot dS=0

Resposta

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