Seja
consistindo de quatro lados e face inferior e superior do cubo com vértices (
. Oriente
com vetores normais apontando para fora. Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície
de um cubo centrado na origem com arestas de comprimento
, orientada externamente, e pede o fluxo de
através de
, onde
O conteúdo principal aqui é usar o Teorema da Divergência aplicado ao campo vetorial
.
Passo 2
Pelo Teorema da Divergência (ou de Gauss), para qualquer campo vetorial
suave e uma superfície fechada
que delimita o volume
, vale
Aqui tomamos
.
Passo 3
Usamos a identidade vetorial
válida sempre que
for suficientemente suave. Logo
Pelo Teorema da Divergência, isso implica