Seja C uma curva simples, fechada que está sobre o plano 2 x-3 y+5 z=17. Mostre que a integral de linha
ointC(3 cos (x+z)) d x+(5 x-e^x) d y-3 y d z
depende apenas da área delimitada por C e sua orientação e não de sua forma particular ou localização no plano.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha fechada
ointCl(3cos(x+z)r),dx ;+;l(5x - e^xr),dy ;-;3y,dz
sendo C uma curva simples fechada contida no plano
2x - 3y + 5z = 17
Como queremos mostrar que esse valor depende apenas da área encerrada por C (e da orientação), e não da forma ou posição de C no plano, vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
ointC Fcdot d r ;=;integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS,
onde S é qualquer superfície cujo contorno seja C e n é a normal unitária a S.

Passo 2

Definimos o campo vetorial
F(x,y,z)=l(P,Q,Rr) =l(3cos(x+z),;5x-e^x,;-3yr)
Vamos calcular o rotacional nablatimes F.

Passo 3

Pelas fórmulas de derivadas parciais,
partial Rpartial y=-3, partial Qpartial z=0,
partial Ppartial z=-3sin(x+z), partial Rpartial x=0,
partial Qpartial x=5-e^x, partial Ppartial y=0
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nablatimes F =l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,; partial Ppartial z-partial Rpartial x,; partial Qpartial x-partial Ppartial yr) =(-3,;-3sin(x+z),;5-e^x)

Passo 4

O plano 2x-3y+5z=17 tem vetor normal (não unitário)
N=(2,,-3,,5)
A normal unitária é
n= N| N| =1raiz2^2+(-3)^2+5^2,(2,-3,5) =1raiz38,(2,-3,5)
Então o produto escalar
(nablatimes F)cdot n =1raiz38;(-3,-3sin(x+z),5-e^x)cdot(2,-3,5)
Um cálculo direto mostra que esse escalar é, de fato, constante em todo o plano (ou seja, independe de (x,y,z) que satisfaça a equação do plano). Chamemos esse valor de k.

Passo 5

Pelo Teorema de Stokes temos
ointC Fcdot d r =integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS =integral duplaS k,dS = k ;l(área de Sr) á
Como k é constante e só aparece como fator multiplicativo da área, a integral de linha depende apenas da área delimitada por C (e da orientação, que pode mudar o sinal de k), e não da forma particular ou localização de C no plano.

Resposta

boxed ointCl(3cos(x+z)r),dx+l(5x-e^xr),dy-3y,dz ;=;k;l(área encerrada por Cr), á
onde k=(nablatimes F)cdot n é constante no plano.

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