Seja
uma curva simples, fechada que está sobre o plano
. Mostre que a integral de linha
depende apenas da área delimitada por
e sua orientação e não de sua forma particular ou localização no plano.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha fechada
sendo
uma curva simples fechada contida no plano
Como queremos mostrar que esse valor depende apenas da área encerrada por
(e da orientação), e não da forma ou posição de
no plano, vamos usar o Teorema de Stokes, que diz
onde
é qualquer superfície cujo contorno seja
e
é a normal unitária a
.
Passo 2
Definimos o campo vetorial
Vamos calcular o rotacional
.
Passo 3
Pelas fórmulas de derivadas parciais,
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Passo 4
O plano
tem vetor normal (não unitário)
A normal unitária é
Então o produto escalar
Um cálculo direto mostra que esse escalar é, de fato, constante em todo o plano (ou seja, independe de
que satisfaça a equação do plano). Chamemos esse valor de
.
Passo 5
Pelo Teorema de Stokes temos
Como
é constante e só aparece como fator multiplicativo da área, a integral de linha depende apenas da área delimitada por
(e da orientação, que pode mudar o sinal de
), e não da forma particular ou localização de
no plano.
Resposta
onde
é constante no plano.