Use o Teorema de Stokes para encontrar a integral de linha do campo F=(x y z-e^x) i-x y z j+ (x^2 y z+sen z) k ao longo dos segmentos de linha de (0,0,0) a (1,1,1), deste ponto a (0,0,2) e voltando ao ponto (0,0,0).

Passo 1

O enunciado pede o valor de
ointCFcdot dr
onde F=(x y z - e^x),i-x y z,j+(x^2 y z+sen z),k e C é o polígono fechado que vai de (0,0,0) a (1,1,1), depois a (0,0,2) e retorna a (0,0,0).
Vamos usar o Teorema de Stokes, que afirma
ointCFcdot dr =integral duplaS(nablatimesF)cdotn,dS,
escolhendo S como o triângulo que tem vértices (0,0,0), (1,1,1) e (0,0,2).

Passo 2

Calcular o rotacional nablatimesF. Escrevendo F=(P,Q,R) com
P=x y z - e^x, Q=-x y z, R=x^2 y z+sen z,
temos
nablatimesF =l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,; partial Ppartial z-partial Rpartial x,; partial Qpartial x-partial Ppartial yr),
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nablatimesF =l(x^2z+xy,;xy-2xyz,;-(x+y)zr)

Passo 3

Parametrizamos o triângulo por
r(u,v)=(u,u,u+2v),
onde u>=0, v>=0 e u+v<=1. Então
ru=(1,1,1), rv=(0,0,2),
e o vetor normal orientado é
rutimesrv=(2,-2,0)

Passo 4

Substituímos na expressão do rotacional em r(u,v):
x=u,;y=u,;z=u+2v
nablatimesF(r(u,v)) =l(u^2(u+2v)+u^2,;u^2-2u^2(u+2v),;-2u(u+2v)r)
O produto escalar com rutimesrv
(nablatimesF)cdot(rutimesrv) =2l[C1-C2r] =6u^3+12u^2v

Passo 5

Montamos a integral dupla sobre a região D=(u,v)mid u>=0,;v>=0,;u+v<=1:
integral duplaD(6u^3+12u^2v),du,dv =integralu=0^1integralv=0^1-u(6u^3+12u^2v),dv,du
Fazendo a integral em v e depois em u obtemos
integral0^1(6u^2-6u^3),du = l[2u^3-tfrac32u^4r]0^1 =2-tfrac32 =tfrac12

Passo 6

Verificamos que a orientação escolhida em rutimesrv corresponde à passada ao longo de C de (0,0,0) a (1,1,1) a (0,0,2) e de volta a (0,0,0). Portanto
ointCFcdot dr =integral duplaS(nablatimesF)cdotn,dS =tfrac12

Resposta

tfrac12

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