Use uma substituição para determinar uma primitiva e depois aplique o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral.
integral0^pi sen^2(1+theta2) d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral0^pi sin^2(1+theta2) dtheta. O conteúdo que vamos usar aqui envolve integrais definidas, substituição e o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar entender como fazer uma substituição para simplificar a integral e depois aplicar o teorema para calcular o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que possa simplificar a expressão dentro do seno ao quadrado. Observamos que temos 1 + theta2 dentro do seno. Vamos chamar essa expressão de u:
u = 1 + theta2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a theta para substituir dtheta. Derivando u em relação a theta:
dudtheta = 12 Rightarrow dtheta = 2, du

Passo 4

Também precisamos ajustar os limites de integração para a nova variável u. Quando theta = 0:
u = 1 + 02 = 1
E quando theta = pi:
u = 1 + pi2
Então, os novos limites de integração são de u = 1 a u = 1 + pi2.

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral0^pi sin^2(1+theta2) dtheta = integral1^1+pi2 sin^2(u) cdot 2, du
Podemos fatorar o 2:
2 integral1^1+pi2 sin^2(u) du

Passo 6

Agora, precisamos integrar sin^2(u). Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
sin^2(u) = 1 - cos(2u)2
Então, substituímos na integral:
2 integral1^1+pi2 1 - cos(2u)2 du
Os 2’s se cancelam:
integral1^1+pi2 (1 - cos(2u)) du

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (1) du - integral cos(2u) du
A integral de 1 em relação a u é u, e a integral de cos(2u) é sin(2u)2. Então:
u - sin(2u)2

Passo 8

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos a antiderivada nos limites de 1 a 1 + pi2:
[ u - sin(2u)2 ]1^1+pi2
Substituindo os limites:
(1 + pi2) - sin(2(1 + pi2))2 - (1 - sin(2)2)

Passo 9

Simplificando a expressão:
1 + pi2 - sin(2 + pi)2 - 1 + sin(2)2
Os termos 1 e -1 se cancelam:
pi2 - sin(2 + pi)2 + sin(2)2
Sabemos que sin(2 + pi) = -sin(2), então:
pi2 - (-sin(2))2 + sin(2)2 = pi2 + sin(2)2 + sin(2)2 = pi2 + sin(2)

Resposta

A integral integral0^pi sin^2(1+theta2) dtheta é igual a pi2 + sin(2).

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