Use uma substituição para determinar uma primitiva e depois aplique o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve integrais definidas, substituição e o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos precisar entender como fazer uma substituição para simplificar a integral e depois aplicar o teorema para calcular o valor final.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que possa simplificar a expressão dentro do seno ao quadrado. Observamos que temos
dentro do seno. Vamos chamar essa expressão de
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
. Derivando
em relação a
:
Passo 4
Também precisamos ajustar os limites de integração para a nova variável
. Quando
:
E quando
:
Então, os novos limites de integração são de
a
.
Passo 5
Substituindo tudo na integral original, temos:
Podemos fatorar o 2:
Passo 6
Agora, precisamos integrar
. Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
Então, substituímos na integral:
Os 2’s se cancelam:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
A integral de 1 em relação a
é
, e a integral de
é
. Então:
Passo 8
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos a antiderivada nos limites de 1 a
:
Substituindo os limites:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Os termos 1 e -1 se cancelam:
Sabemos que
, então:
Resposta
A integral
é igual a
.