Seja
contínua. Prove que
possui um ponto fixo, isto é, existe
tal que
. Dê exemplo de uma função contínua
sem ponto fixo.
Passo 1
O enunciado pede para provar que toda função contínua
possui pelo menos um ponto fixo, ou seja, existe
tal que
.
O conteúdo-chave aqui é o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Em seguida, deve-se dar um exemplo de função contínua
O conteúdo-chave aqui é o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Em seguida, deve-se dar um exemplo de função contínua
que não tenha ponto fixo.
Passo 2
Definimos a função auxiliar
Como
é contínua e a função identidade
também é contínua, segue que
é contínua em
.
Passo 3
Calculamos os valores de
nos extremos do intervalo:
pois
, e
pois
. Logo
Passo 4
Pelo Teorema do Valor Intermediário, como
é contínua em
e
, existe
tal que
Da definição de
vem
, ou seja,
. Isso prova que há ponto fixo em
.
Passo 5
Como exemplo em
, tome
Esta função é contínua em
e mapeia
em
. Se existisse
com
, teríamos
o que contradiz
. Portanto,
não tem ponto fixo em
.
Resposta
Função fixa em
: todo
contínua tem ponto fixo por TVI.
Exemplo sem ponto fixo em :
Exemplo sem ponto fixo em