Seja f:[0,1] longrightarrow[0,1] contínua. Prove que f possui um ponto fixo, isto é, existe x in[0,1] tal que f(x)=x. Dê exemplo de uma função contínua f:(0,1) longrightarrow(0,1) sem ponto fixo.

Passo 1

O enunciado pede para provar que toda função contínua
fcolon[0,1]to[0,1]
possui pelo menos um ponto fixo, ou seja, existe xin[0,1] tal que f(x)=x.
O conteúdo-chave aqui é o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Em seguida, deve-se dar um exemplo de função contínua
fcolon(0,1)to(0,1)
que não tenha ponto fixo.

Passo 2

Definimos a função auxiliar
g(x)=f(x)-x
Como f é contínua e a função identidade xmapsto x também é contínua, segue que g é contínua em [0,1].

Passo 3

Calculamos os valores de g nos extremos do intervalo:
g(0)=f(0)-0=f(0)>= 0,
pois f(0)in[0,1], e
g(1)=f(1)-1<= 1-1=0,
pois f(1)in[0,1]. Logo
g(0)>=0 e g(1)<=0

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, como g é contínua em [0,1] e g(0)cdot g(1)<=0, existe cin[0,1] tal que
g(c)=0
Da definição de g vem f(c)-c=0, ou seja, f(c)=c. Isso prova que há ponto fixo em [0,1].

Passo 5

Como exemplo em (0,1), tome
f(x)=x2
Esta função é contínua em (0,1) e mapeia (0,1) em l(0,tfrac12r)subset(0,1). Se existisse xin(0,1) com f(x)=x, teríamos
x2=x Longrightarrow x=0,
o que contradiz x>0. Portanto, f não tem ponto fixo em (0,1).

Resposta

Função fixa em [0,1]: todo fcolon[0,1]to[0,1] contínua tem ponto fixo por TVI.
Exemplo sem ponto fixo em (0,1): f(x)=tfracx2

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