Use o teorema do valor intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado.
cos x=x,(0, pi2)

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) a fim de mostrar que existe pelo menos uma solução da equação cos x = x no intervalo l(0,tfracpi2r). O conteúdo principal é o TVI para funções contínuas, e vamos definir uma função apropriada para aplicar o teorema.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = cos(x) - x
Sabemos que cos(x) é contínua em R e x também é contínua, logo f(x) é contínua em todo o intervalo fechado l[0,tfracpi2r], condição necessária para aplicar o TVI.

Passo 3

Agora avaliamos os valores de f nas extremidades do intervalo:
f(0) = cos(0) - 0 = 1 > 0,
fl(tfracpi2r) = cosl(tfracpi2r) - tfracpi2 = 0 - tfracpi2 = -tfracpi2 < 0
Portanto f(0) e f(tfracpi2) têm sinais opostos.

Passo 4

O Teorema do Valor Intermediário garante que, se uma função contínua assume valores de sinais opostos nas extremidades de um intervalo, ela se anula em algum ponto interior. Como f é contínua em l[0,tfracpi2r] e f(0)cdot f(tfracpi2)<0, existe cinl(0,tfracpi2r) tal que
f(c) = 0 Longrightarrow cos(c) - c = 0 Longrightarrow cos(c) = c

Resposta

Existe pelo menos uma raiz da equação cos x = x no intervalo l(0,tfracpi2r).

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