Sejam r: P=(1,2,3)+t(0,1,3) e s: P=(0,1,2)+h(1,1,1) ; t, h in R
O que você pode concluir sobre o ângulo entre elas?

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3:
r: P=(1,2,3)+t(0,1,3) e
s: P=(0,1,2)+h(1,1,1),
e pergunta sobre o ângulo entre elas. Vamos usar geometria de retas no espaço, extraindo os vetores diretores, verificar posição relativa e aplicar a fórmula do ângulo entre vetores.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores:
para r, vec v=(0,1,3);
para s, vec w=(1,1,1).

Passo 3

Verificamos se são paralelos procurando lambda tal que vec v=lambdavec w. Como a primeira componente de vec v é zero e de vec w é um, não existe lambda que faça isso, logo não são paralelos.

Passo 4

Procuramos interseção resolvendo
(1,,2+t,,3+3t)=(h,,1+h,,2+h)
Da primeira coordenada vem h=1. Substituindo nas outras, 2+t=2implies t=0 e 3+3cdot0=3=2+1. Portanto as retas se cruzam em (1,2,3).

Passo 5

Calculamos o produto escalar dos vetores diretores:
vec vcdotvec w =0cdot1+1cdot1+3cdot1 =4

Passo 6

Calculamos as normas:
|vec v|=raiz0^2+1^2+3^2=raiz10, |vec w|=raiz1^2+1^2+1^2=raiz3

Passo 7

Aplicamos a fórmula do cosseno do ângulo theta:
cos(theta) =vec vcdotvec w|vec v||vec w| =4raiz10,raiz3 =4raiz30,
portanto
theta=arccos!l(4raiz30r)

Resposta

As retas r e s se intersectam em (1,2,3), não são paralelas nem perpendiculares, e formam o ângulo
theta=arccos!l(4raiz30r)

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