Seja f(x, y)=x^2+y^2 e seja alpha(t)=(t, t, z(t)), t in R uma curva cuja imagem está contida no gráfico de f.
Determine a reta tangente a alpha no ponto (1,1,2)

Passo 1

O enunciado define a superfície z=f(x,y)=x^2+y^2 e uma curva alpha(t)=(t,t,z(t)) cuja imagem está sobre esse gráfico, e pede a reta tangente a alpha no ponto (1,1,2). Para resolver vamos usar que alpha está sobre o gráfico de f para achar z(t), então calcular alpha'(t), determinar o instante t0 correspondente ao ponto dado e escrever a equação da reta usando o vetor tangente em t0.

Passo 2

Como a imagem de alpha está no gráfico de f, vale
z(t)=f(t,t)=t^2+t^2=2t^2
Logo a curva parametrizada é alpha(t)=(t,t,2t^2).

Passo 3

Derivando componente a componente, obtemos o vetor tangente
alpha'(t)=(1,1,4t)

Passo 4

Para achar o instante t0 tal que alpha(t0)=(1,1,2) resolvemos
(t0,t0,2t0^2)=(1,1,2),
obtendo t0=1.

Passo 5

No instante t0=1 o vetor tangente é
alpha'(1)=(1,1,4)
A reta tangente no ponto (1,1,2) com direção (1,1,4) tem equação paramétrica
ell(s)=(1+s,;1+s,;2+4s), sinR,
ou forma simétrica
x-11=y-11=z-24

Resposta

ell(s)=(1+s,;1+s,;2+4s), sinR

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