Seja a curva dada por .
Determinar o comprimento de . Se necessário use a relação trigonométrica .
Passo 1
A questão pede o comprimento da curva polar dada por . O conteúdo principal é o comprimento de arco em coordenadas polares, cuja fórmula é . Vamos precisar também da identidade trigonométrica .
Passo 2
Primeiro computamos a derivada de em relação a :
Passo 3
Agora formamos o integrando:
Aplicando a identidade dada, isso vira
Logo
Passo 4
Portanto o comprimento é
s=integral0^2pi2l|costfractheta2r|,dtheta
Fazendo a substituição phi=tfractheta2 e notando que dtheta=2,dphi e que |cosphi| em [0,pi] tem área total 2, obtém-se