Seja C1 a curva dada por r=1+cos (theta).
Determinar o comprimento de C1. Se necessário use a relação trigonométrica 1+cos (theta)= 2 cdot cos ^2(theta2).

Passo 1

A questão pede o comprimento da curva polar dada por r=1+cos(theta). O conteúdo principal é o comprimento de arco em coordenadas polares, cuja fórmula é s=integralalpha^betaraizr^2+(tfracdrdtheta)^2,dtheta. Vamos precisar também da identidade trigonométrica 1+costheta=2cos^2(tfractheta2).

Passo 2

Primeiro computamos a derivada de r em relação a theta:
drdtheta=ddtheta(1+costheta)=-sintheta

Passo 3

Agora formamos o integrando:
r^2+l(drdthetar)^2=(1+costheta)^2+sin^2theta=1+2costheta+cos^2theta+sin^2theta=2+2costheta=2(1+costheta)
Aplicando a identidade dada, isso vira
2(1+costheta)=2cdot2cos^2l(tfractheta2r)=4cos^2l(tfractheta2r)
Logo
raizr^2+l(tfracdrdthetar)^2=2l|costfractheta2r|

Passo 4

Portanto o comprimento é
s=integral0^2pi2l|costfractheta2r|,dtheta
Fazendo a substituição phi=tfractheta2 e notando que dtheta=2,dphi e que |cosphi| em [0,pi] tem área total 2, obtém-se
s=2integral0^2pil|costfractheta2r|,dtheta=4integral0^pi|cosphi|,dphi=4cdot2=8

Resposta

8

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