Seja S a parte do plano 2 x+2 y+z-1=0 que se encontra dentro do cilindro x^2+y^2=1, orientada com campo normal unitário apontando para cima, e considere o campo de vetores F(x, y, z)=[y+z^2] i+[x+z^2] j+[x+y^2] k, Use o Teorema de Stokes para calcular ointC F cdot d r, onde C é a fronteira de S .

Passo 1

O enunciado pede o valor de
ointCFcdot dr,
sendo C a fronteira da superfície S definida pelo plano
2x+2y+z-1=0
dentro do cilindro x^2+y^2=1, orientada com a normal para cima.
Conteúdo envolvido: Teorema de Stokes (relaciona linha a fluxo de nablatimesF), cálculo de nablatimesF e parametrização de S como gráfico z=g(x,y).

Passo 2

Pelo Teorema de Stokes temos
ointCFcdot dr =integral duplaS(nablatimesF)cdot dS

Passo 3

Calculemos nablatimesF para
F(x,y,z)=(y+z^2,;x+z^2,;x+y^2):
nablatimesF = i&j&k partialx&partialy&partialz y+z^2&x+z^2&x+y^2 =(2y-2z),i+(2z-1),j+0,k

Passo 4

Escrevemos S como gráfico
z=1-2x-2y,
com orientação para cima. Nesse caso
dS =(-gx,,-gy,,1),dA =(2,2,1),dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy e o domínio projetado é
D=(x,y)mid x^2+y^2<=1

Passo 5

O integrando fica
(nablatimesF)cdot dS =(2y-2z,,2z-1,,0)cdot(2,2,1),dA =4y-4z+4z-2,dA =(4y-2),dA
Logo
ointCFcdot dr =integral duplaD(4y-2),dA

Passo 6

Separando a integral:
integral duplaD4y,dA -2integral duplaDdA
Pelo simetria, integral duplaDy,dA=0, e a área de D é pi. Portanto
ointCFcdot dr =0-2pi =-2pi

Resposta

-2pi

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