Seja a curva gamma(t)=((t-1)^12, e^t), calcule a derivada da função
f(x, y)=sen y cos x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de tmapsto f(gamma(t)), onde
gamma(t)=l((t-1)^12,e^tr) e
f(x,y)=sin ycos x
O conteúdo é a regra da cadeia em várias variáveis, que diz
ddtf(gamma(t)) ;=;nabla fl(gamma(t)r)cdotgamma'(t)

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f. Para
f(x,y)=sin y,cos x temos
partial fpartial x(x,y) =sin y;ddx(cos x) =-sin y,sin x,
partial fpartial y(x,y) =cos x;ddy(sin y) =cos x,cos y

Passo 3

Determinar gamma'(t). Como
gamma(t)=l((t-1)^12,e^tr),
gamma'(t) =l(tfracddt(t-1)^12,,tfracddte^tr) =l(12(t-1)^11,,e^tr)

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia:
ddtf(gamma(t)) =partial fpartial xl(gamma(t)r),x'(t) +partial fpartial yl(gamma(t)r),y'(t)
Substituindo
gamma(t)=l(x=(t-1)^12,,y=e^tr),
ddtf(gamma(t)) =-sinl(e^tr),sinl((t-1)^12r),12(t-1)^11 +cosl(e^tr),cosl((t-1)^12r),e^t

Resposta

ddtf(gamma(t)) =-12(t-1)^11,sinl((t-1)^12r),sinl(e^tr) +e^t,cosl((t-1)^12r),cosl(e^tr)

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