Seja
uma curva de parametrização
.
Reparametrize
pelo comprimento de arco.
Reparametrize
Passo 1
O enunciado dá a curva de parametrização
que é um cicloide de raio
. Queremos reparametrizar essa curva pelo comprimento de arco
. Para isso precisamos:
- Calcular a velocidade
. - Definir
- Inverter a relação para obter
em função det ,s .t=t(s) - Substituir
emt(s) para acharr(t) .r(s)
Passo 2
Calculemos
r'(t) e seu módulo:
Em
tin[0,2pi] temos
sin t2>=0 , logo
Passo 3
Definimos o comprimento de arco desde
t=0 até
t como
Fazendo a substituição
v=tfrac u2 (
du=2,dv ) obtemos
Passo 4
Invertendo
s=4a(1-cos t2) para achar
t em função de
s :
com
sin[0,s(2pi)] . Como
ficamos com
sin[0,8a] .
Passo 5
Substituímos
t(s) em
r(t) . Uma forma compacta é