Seja C uma curva de parametrização r(t)=(a(t-sen t), a(1-cos t)), t in[0,2 pi].
Reparametrize C pelo comprimento de arco.

Passo 1

O enunciado dá a curva de parametrização
r(t)=l(a,(t-sin t),;a,(1-cos t)r), tin[0,2pi],
que é um cicloide de raio a. Queremos reparametrizar essa curva pelo comprimento de arco s. Para isso precisamos:
  1. Calcular a velocidade llvert r'(t)rrvert.
  2. Definir
s(t)=integral0^tllvert r'(u)rrvert,du
  1. Inverter a relação para obter t em função de s, t=t(s).
  2. Substituir t(s) em r(t) para achar r(s).

Passo 2

Calculemos r'(t) e seu módulo:
r'(t) =l(a(1-cos t),;asin tr),
llvert r'(t)rrvert =araiz(1-cos t)^2+sin^2t =araiz2-2cos t =2allvertsintfrac t2rrvert
Em tin[0,2pi] temos sin t2>=0, logo
llvert r'(t)rrvert=2asintfrac t2

Passo 3

Definimos o comprimento de arco desde t=0 até t como
s(t)=integral0^t2asin u2,du
Fazendo a substituição v=tfrac u2 ( du=2,dv) obtemos
s(t) =4aintegral0^t/2sin v,dv =4al[-cos vr]0^t/2 =4al(1-costfrac t2r)

Passo 4

Invertendo s=4a(1-cos t2) para achar t em função de s:
costfrac t2=1- s4a,
tfrac t2=arccos!l(1- s4ar),
t(s)=2arccos!l(1- s4ar),
com sin[0,s(2pi)]. Como
s(2pi)=4al(1-cospir)=4acdot2=8a,
ficamos com sin[0,8a].

Passo 5

Substituímos t(s) em r(t). Uma forma compacta é
r(s) =l(a,(t(s)-sin t(s)),;a,(1-cos t(s))r), t(s)=2arccos!l(1- s4ar), ;sin[0,8a]

Resposta

r(s) =l( al(2arccos!l(1-tfrac s4ar) -sinl(2arccos(1-tfrac s4a)r)r), ; al(1-cosl(2arccos(1-tfrac s4a)r)r) r), 0<= s<=8a

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