Seja d um divisor de n, ou seja, d \mid n. Mostrar que c d \mid n se, e somente se, c \left\lvert\, \frac{n}{d}\right..

Passo 1

O enunciado afirma que d é divisor de n (ou seja, d\mid n) e pede para mostrar a equivalência
cd\mid n \quad\Longleftrightarrow\quad c \;\bigl\lvert\;\tfrac{n}{d}\bigr.
O conteúdo aqui é a definição de divisibilidade: a\mid b significa que existe inteiro k tal que b = a\,k.

Passo 2

Prova de “se”: suponha cd\mid n.
Então existe k\in\mathbb{Z} tal que
n = (cd)\,k = c\,(d\,k).
Dividindo ambos os lados por d, que sabemos ser divisor de n, obtemos
\frac{n}{d} = c\,k.
Isso mostra que c\mid \tfrac{n}{d}.

Passo 3

Prova de “somente se”: suponha c\mid \tfrac{n}{d}.
Então existe t\in\mathbb{Z} tal que
\frac{n}{d} = c\,t.
Multiplicando ambos os lados por d (válido pois d\neq0), vem
n = c\,t\,d = (cd)\,t,
logo cd\mid n.

Resposta

Mostramos que cd\mid n se, e somente se, c\bigl\lvert\tfrac{n}{d}\bigr.

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