Seja
um divisor de
, ou seja,
. Mostrar que
se, e somente se,
.
Passo 1
O enunciado afirma que
é divisor de
(ou seja,
) e pede para mostrar a equivalência
O conteúdo aqui é a definição de divisibilidade:
significa que existe inteiro
tal que
.
Passo 2
Prova de “se”: suponha
.
Então existe tal que
Então existe
Dividindo ambos os lados por
, que sabemos ser divisor de
, obtemos
Isso mostra que
.
Passo 3
Prova de “somente se”: suponha
.
Então existe tal que
Então existe
Multiplicando ambos os lados por
(válido pois
), vem
logo
.
Resposta
Mostramos que
se, e somente se,