Seja
a produção de uma empresa em função do insumo capital (
). Calcule:
(c) o valor necessário de capital para que o produto médio iguale o produto marginal.
R: 26,25
(c) o valor necessário de capital para que o produto médio iguale o produto marginal.
R: 26,25
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de produção que depende do capital (K), que é
P = 1,05 K² + 10 K - 0,02 K³
. A missão aqui é encontrar o valor de K tal que o produto médio seja igual ao produto marginal. Para isso, vamos precisar entender o que são essas duas coisas e como calcular.Passo 2
Primeiro, vamos definir o produto médio (PM). Ele é calculado dividindo a produção total (P) pelo capital usado (K):
Passo 3
Agora, o produto marginal (PMg) é a derivada da produção em relação ao capital. Ou seja, é a taxa de variação da produção quando aumentamos um pouquinho o capital:
Passo 4
Vamos calcular o produto médio primeiro. Pegando a função de produção:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto marginal. Derivando a função de produção em relação a K:
Passo 6
Queremos que o produto médio seja igual ao produto marginal:
Passo 7
Vamos resolver essa equação. Primeiro, subtraímos ambos os lados por
:
Passo 8
Fatorando K:
Passo 9
Isso nos dá duas soluções:
-
(mas isso não faz sentido no contexto) -
Resolvendo a segunda:
Resposta
O valor necessário de capital para que o produto médio iguale o produto marginal é 26,25.