Seja P=1,05 K^2+10 K-0,02 K^3 a produção de uma empresa em função do insumo capital ( K ). Calcule:
(c) o valor necessário de capital para que o produto médio iguale o produto marginal.
R: 26,25

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de produção que depende do capital (K), que é P = 1,05 K² + 10 K - 0,02 K³. A missão aqui é encontrar o valor de K tal que o produto médio seja igual ao produto marginal. Para isso, vamos precisar entender o que são essas duas coisas e como calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o produto médio (PM). Ele é calculado dividindo a produção total (P) pelo capital usado (K):
PM = PK

Passo 3

Agora, o produto marginal (PMg) é a derivada da produção em relação ao capital. Ou seja, é a taxa de variação da produção quando aumentamos um pouquinho o capital:
PMg = dPdK

Passo 4

Vamos calcular o produto médio primeiro. Pegando a função de produção:
PM = 1,05 K² + 10 K - 0,02 K³K = 1,05 K + 10 - 0,02 K² ²³²

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto marginal. Derivando a função de produção em relação a K:
PMg = ddK(1,05 K² + 10 K - 0,02 K³) = 2,10 K + 10 - 0,06 K² ²³²

Passo 6

Queremos que o produto médio seja igual ao produto marginal:
1,05 K + 10 - 0,02 K² = 2,10 K + 10 - 0,06 K² ²²

Passo 7

Vamos resolver essa equação. Primeiro, subtraímos ambos os lados por 1,05 K + 10 - 0,02 K²²:
0 = 1,05 K - 0,04 K² ²

Passo 8

Fatorando K:
0 = K(1,05 - 0,04 K)

Passo 9

Isso nos dá duas soluções:
  1. K = 0 (mas isso não faz sentido no contexto)
  2. 1,05 - 0,04 K = 0
Resolvendo a segunda:
0,04 K = 1,05 K = 1,050,04 K = 26,25

Resposta

O valor necessário de capital para que o produto médio iguale o produto marginal é 26,25.

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