Seja T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x-2 y-2 z, y, 2 y+3 z).
Determine a matriz A=(T)alpha, sendo alpha a base canônica do R^3, o polinômio característico e os autovalores de T.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (,x - 2y - 2z,;y,;2y + 3z,)
e pede:
  1. A matriz A=(T)alpha na base canônica alpha=e1,e2,e3.
  2. O polinômio característico de A.
  3. Os autovalores de T.

Passo 2

Para montar A, avaliamos T nos vetores da base canônica:
T(e1)=T(1,0,0)=(1,0,0), T(e2)=T(0,1,0)=(-2,1,2), T(e3)=T(0,0,1)=(-2,0,3)
As colunas de A são exatamente esses vetores, logo
A = 1 & -2 & -2 0 & 1 & 0 0 & 2 & 3

Passo 3

O polinômio característico é
p(lambda) = detl(A - lambda Ir) = det 1-lambda & -2 & -2 0 & 1-lambda & 0 0 & 2 & 3-lambda
Como a primeira coluna tem zeros abaixo de (1-lambda), temos
p(lambda) =(1-lambda),det1-lambda & 02 & 3-lambda =(1-lambda)l((1-lambda)(3-lambda)-0r) =(1-lambda)^2(3-lambda)

Passo 4

Os autovalores são as raízes de p(lambda)=0, ou seja
1-lambda=0implies lambda=1(mu<iplicidade algébrica 2), 3-lambda=0implies lambda=3 é

Resposta

A matriz na base canônica é
A = 1 & -2 & -2 0 & 1 & 0 0 & 2 & 3
O polinômio característico é
p(lambda)=(1-lambda)^2(3-lambda)
Os autovalores são
lambda1=1 (alg mu< 2), lambda2=3

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