Seja T: R^3 longrightarrow R^2 dada por T(x, y, z)=(x-3 y+5 z,-x+4 y-z).
Mostre que T é transformação linear;

Passo 1

O enunciado define Tcolon R^3toR^2 por
T(x,y,z) = (,x - 3y + 5z,;-x + 4y - z,)
Queremos mostrar que T é linear, ou seja, satisfaz para todo u,vinR^3 e todo escalar cinR:
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) (aditividade),
  2. T(c,u)=c,T(u) (homogeneidade).

Passo 2

Sejam
u=(x1,y1,z1), v=(x2,y2,z2)
Então
u+v = (,x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,),
e aplicando T ao vetor soma:
T(u+v) = l((x1+x2)-3(y1+y2)+5(z1+z2),;-(x1+x2)+4(y1+y2)-(z1+z2)r)
Distribuindo somas e colhendo termos,
T(u+v) = l((x1-3y1+5z1)+(x2-3y2+5z2),;(-x1+4y1-z1)+(-x2+4y2-z2)r) = T(u)+T(v)

Passo 3

Seja cinR. Para u=(x1,y1,z1) temos
c,u = (c x1,;c y1,;c z1),
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T(c,u) = l(c x1 - 3(c y1) + 5(c z1),;-c x1 + 4(c y1) - c z1 r) = l(c(x1-3y1+5z1),;c(-x1+4y1-z1)r) = c,T(u)

Resposta

T é transformação linear, pois satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade.

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