Verifique se os seguintes operadores lineares do R^3 são bijetores.
T(x, y, z)=(x, x-y, 2 x+y-z).

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon R^3 to R^3 dado por
T(x,y,z) = (,x,;x - y,;2x + y - z,)
Queremos verificar se T é bijetora, ou seja, se é injetiva e sobrejetiva. Num espaço vetorial de dimensão finita igual em domínio e contradomínio, basta mostrar que a matriz de T é invertível (determinante não nulo).

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3, onde e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1), as colunas da matriz de T são T(e1), T(e2) e T(e3). Calculamos:
T(1,0,0) = (1,1,2),
T(0,1,0) = (0,-1,1),
T(0,0,1) = (0,0,-1).
Logo a matriz associada é
A = 1 & 0 & 0 1 & -1 & 0 2 & 1 & -1

Passo 3

Calculamos o determinante de A. Usando expansão pela primeira linha:
det A = 1cdotdet-1 & 0 1 & -1 - 0cdot(cdots) + 0cdot(cdots) = 1l((-1)cdot(-1) - 0cdot1r) = 1cdot1 = 1
Como det A = 1 neq 0, a matriz é invertível.

Passo 4

Matriz invertível implica que T é injetiva e, num espaço de mesma dimensão, também sobrejetiva. Portanto T é bijetora.

Resposta

T é bijetora.

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