Sejam a base canônica do outra base do .
Seja o operador linear tal que .
Seja S: R^3 R^3 dada por S(x, y, z)=(y+z, x-4 y,-x-2 y+z).
Responda SIM ou NÃO às perguntas abaixo, com as justificativas adequadas, conforme as opções apresentadas:
Pode haver uma transformação linear injetora S: R^3 P3(R) cuja imagem seja Im S=[x^3, x^3+x, x^3-3 x, 5 x] ?
(A) Sim, pois podemos ter dim ker S=0 e dim Im S=4 e 0+4=4=dim P3(R)
(B) Não, pois os dois espaços têm dimensão finita.
(C) Sim, pois podemos ter dim ker S>0 e dim Im S=3 com dim ker S+dim Im S=dim P3(R)
(D) Não, pois teríamos dim ker S+dim Im S>4=dim P3(R)
(E) Sim, pois podemos ter dim ker S=1 e dim Im S=2 e 1+2=3=dim R^3
(F) Não, pois teríamos dim ker S=0 e dim Im S=2 e 0+2=2 neq dim R^3
(G) Sim, pois podemos ter dim ker S=0 e dim Im S=3 e 0+3=3=dim R^3
(H) Não, pois teríamos dim ker S+dim Im S>3=dim R^3
(I) Nenhuma das demais opções.
Passo 1
O enunciado pergunta se existe uma aplicação linear injetora S: R^3to P3(R) cuja imagem seja ImS=spanx^3,,x^3+x,,x^3-3x,,5x.
O que vamos usar é o Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity):
dimker S + dimImS = dimR^3 = 3
Passo 2
Para achar dimImS observamos que todo polinômio em x^3,,x^3+x,,x^3-3x,,5x não tem termo constante nem termo em x^2.
Assim eles vivem no subespaço spanx,x^3, que tem dimensão 2.
Logo
dimImS = 2
Passo 3
Pelo rank–nullity em R^3 temos
dimker S + dimImS = 3 Longrightarrow dimker S = 3 - 2 = 1
Passo 4
Uma transformação linear é injetora se, e somente se, ker S=0, ou seja dimker S=0. Aqui obtivemos dimker S=1neq0, então Snão pode ser injetora.