Seja a ED dada por:
. Usando o método de Frobenius, use a solução tentativa do tipo:
;
Calcule as soluções
, para
e
, para
, mostrando que
e que
;
Calcule as soluções
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Frobenius
usando a forma de Frobenius
para obter duas séries independentes, correspondentes aos indíces
e
. Vamos precisar montar a equação indicial, deduzir a relação de recorrência e calcular alguns coeficientes para cada caso.
Passo 2
Começamos substituindo
Inserindo na EDO e agrupando as potências de
, obtemos
Do coeficiente de
vem a equação indicial:
e, para
, a recorrência
Passo 3
Para
a recorrência fica
Com
livre, encontramos
et assim por diante. Isso leva à solução
Passo 4
Para
a recorrência vira
Com
livre (aqui renomeado como
no enunciado), obtemos
et assim segue. A série resultante é
Passo 5
Essas duas séries são as soluções independentes pedidas pelo método de Frobenius para
e
.