Seja a ED dada por:
. Usando o método de Frobenius, use a solução tentativa do tipo:
;
mostre que para
e
;
mostre que para
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de Frobenius
e propõe a solução
O conteúdo aqui é o método de Frobenius: vamos obter a equação indicial para
e a recorrência para os coeficientes
, e então verificar o caso
.
Passo 2
Calculemos
e
em série e substituamos na EDO.
Multiplicando:
Passo 3
Juntando tudo em potências de
, observamos que
e o termo
ao reindexar
vira
. Logo para todo
No caso
surge a equação indicial
Para
temos a recorrência
Passo 4
Falta agora o caso
. A recorrência para
é
Por definição
, então
Mas
Para
isso vale
; para
vale
. Em ambos os casos o fator multiplicador de
não é zero, logo a única solução é
Resposta
Para as duas raízes
e
da equação indicial, temos
.