Seja a ED dada por: x^2 y^prime prime+2 x y^prime+(x^2-2) y=0. Usando o método de Frobenius, use a solução tentativa do tipo: y(x)=sumn=0^infty Cn x^n+s;
Mostre que a Fórmula de Recorrência para n >= 2 é dada por: Cn=-Cn-2[(s+n)(s+n+1)-2];

Passo 1

O problema pede para aplicar o método de Frobenius à equação
x^2y''+2x,y'+l(x^2-2r)y=0
procurando solução da forma
y(x)=sumn=0^inftyCn,x^n+s
Precisamos calcular y', y'', substituir na EDO e agrupar potências de x^n+s para encontrar a relação de recorrência entre os coeficientes Cn.

Passo 2

Derivando a série temos
y'=sumn=0^inftyCn(n+s),x^n+s-1, y''=sumn=0^inftyCn(n+s)(n+s-1),x^n+s-2
Substituindo em x^2y''+2x,y'+(x^2-2)y:
x^2y''=sumn=0^inftyCn(n+s)(n+s-1),x^n+s, 2x,y'=sumn=0^infty2Cn(n+s),x^n+s,
(x^2-2)y =sumn=0^inftyCn,x^n+s+2 -sumn=0^infty2Cn,x^n+s

Passo 3

Juntando termos de mesma ordem x^n+s:
sumn=0^inftyCnl[(n+s)(n+s-1)+2(n+s)-2r]x^n+s +sumn=0^inftyCn,x^n+s+2=0
Note que (n+s)(n+s-1)+2(n+s)=(n+s)(n+s+1), logo o primeiro somatório fica
sumn=0^inftyCnl[(n+s)(n+s+1)-2r]x^n+s +sumn=0^inftyCn,x^n+s+2=0

Passo 4

No segundo somatório fazemos a troca de índice nto n-2:
sumn=0^inftyCnl[(n+s)(n+s+1)-2r]x^n+s +sumn=2^inftyCn-2,x^n+s=0
Para n>=2 os coeficientes de x^n+s devem se anular:
Cnl[(n+s)(n+s+1)-2r]+Cn-2=0
Isolando Cn chega-se à fórmula de recorrência desejada.

Resposta

Cn=-Cn-2(s+n)(s+n+1)-2, n>=2

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