Seja M(2 times 2) o espaço das matrizes quadradas de ordem dois. O produto interno usual é definido como:
lang<=[ll a & b c & d ],[ll e & f g & h ]rang<==a e+b f+c g+d h
Mostre que esta operação é realmente um produto interno.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a aplicação
lang<=cdot,cdotrang<=:M(2times2)timesM(2times2)toR dada por
lang<= a & b c & d, e & f g & h rang<= =ae+bf+cg+dh
satisfaz as três propriedades de um produto interno: bilinearidade, simetria e positividade definida.

Passo 2

Bilinearidade (linearidade em cada argumento): sejam
A1=a & b c & d, A2=a' & b' c' & d', C=e & f g & h
Então
A1+A2 =a+a' & b+b' c+c' & d+d'
e
lang<= A1+A2,Crang<= =(a+a')e+(b+b')f+(c+c')g+(d+d')h =lang<= A1,Crang<=+lang<= A2,Crang<=
Para qualquer escalar k,
lang<= kA1,Crang<= =(ka)e+(kb)f+(kc)g+(kd)h =k,(ae+bf+cg+dh) =k,lang<= A1,Crang<=
Analogamente verifica-se a linearidade no segundo argumento.

Passo 3

Simetria: para
A=a & b c & d, B=e & f g & h,
temos
lang<= A,Brang<= =ae+bf+cg+dh =ea+fb+gc+hd =lang<= B,Arang<=

Passo 4

Positividade definida: para
A=a & b c & d,
temos
lang<= A,Arang<= =a^2+b^2+c^2+d^2>=0,
e lang<= A,Arang<==0 se e só se a=b=c=d=0, isto é, A é a matriz nula.

Resposta

Portanto, a forma lang<=cdot,cdotrang<= satisfaz bilinearidade, simetria e positividade definida, sendo de fato um produto interno em M(2times2).

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