Seja
o espaço das matrizes quadradas de ordem dois. O produto interno usual é definido como:
Mostre que esta operação é realmente um produto interno.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a aplicação
dada por
satisfaz as três propriedades de um produto interno: bilinearidade, simetria e positividade definida.
Passo 2
Bilinearidade (linearidade em cada argumento): sejam
Então
e
Para qualquer escalar
,
Analogamente verifica-se a linearidade no segundo argumento.
Passo 3
Simetria: para
temos
Passo 4
Positividade definida: para
temos
e
se e só se
, isto é,
é a matriz nula.
Resposta
Portanto, a forma
satisfaz bilinearidade, simetria e positividade definida, sendo de fato um produto interno em
.