Seja dada por . Prove que é um isomorfismo e apresente sua inversa. Para isso siga o seguinte roteiro:
c) Dê uma base e dimensão de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . A nossa missão aqui é descobrir a base e a dimensão do núcleo de , que a gente chama de . Para isso, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero. Então, precisamos encontrar todos os que fazem .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações que definem o núcleo de . Queremos que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema passo a passo. A primeira equação nos diz que x - y = 0 , ou seja, x = y . A segunda equação é x + y = 0 . Substituindo y por x na segunda equação:
x + x = 0 Rightarrow 2x = 0 Rightarrow x = 0
Como y = x , então y = 0 . A terceira equação é 2z = 0 , o que implica que z = 0 .
Passo 4
Então, o único vetor no núcleo de T é (0, 0, 0) . Isso significa que N(T) contém apenas o vetor zero. Em termos de base, como não há vetores não nulos que formem uma base para N(T) , consideramos que a base é o conjunto vazio.
Resposta
A base de N(T) é o conjunto vazio e a dimensão de N(T) é 0.