Seja T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x-y, x+y, 2 z). Prove que T é um isomorfismo e apresente sua inversa. Para isso siga o seguinte roteiro:
c) Dê uma base e dimensão de N(T).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z) = (x - y, x + y, 2z) . A nossa missão aqui é descobrir a base e a dimensão do núcleo de T , que a gente chama de N(T) . Para isso, vamos lembrar que o núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero. Então, precisamos encontrar todos os (x, y, z) que fazem T(x, y, z) = (0, 0, 0) .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações que definem o núcleo de T . Queremos que:
T(x, y, z) = (x - y, x + y, 2z) = (0, 0, 0)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
x - y = 0 x + y = 0 2z = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema passo a passo. A primeira equação nos diz que x - y = 0 , ou seja, x = y . A segunda equação é x + y = 0 . Substituindo y por x na segunda equação:
x + x = 0 Rightarrow 2x = 0 Rightarrow x = 0
Como y = x , então y = 0 . A terceira equação é 2z = 0 , o que implica que z = 0 .

Passo 4

Então, o único vetor no núcleo de T é (0, 0, 0) . Isso significa que N(T) contém apenas o vetor zero. Em termos de base, como não há vetores não nulos que formem uma base para N(T) , consideramos que a base é o conjunto vazio.

Resposta

A base de N(T) é o conjunto vazio e a dimensão de N(T) é 0.

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