Seja dado o campo
F(x, y, z)=,x(x^2+y^2+z^2)^32 i+y(x^2+y^2+z^2)^32 j+z(x^2+y^2+z^2)^32 k e seja S=S1 cup S2 onde S1 é a porção do hiperboloide a uma folha x^2+y^2-z^2=1 entre o planos z=0 e z=raiz3, com normal n apontando para fora, e S2 é a porção do plano z=raiz3 interna ao cilindro x^2+y^2=4, com normal n=k.
Calcule integral duplaS F cdot n d S
Escolha uma opção:
2 pi
0
raiz3 pi
2 raiz3 pi
4 pi

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um exercício de cálculo vetorial onde precisamos calcular o fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície S que é a união de duas partes: S1, que é uma parte de um hiperboloide de uma folha, e S2, que é uma parte de um plano. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o teorema da divergência, que nos ajuda a relacionar o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume delimitado pela superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o campo vetorial dado:
F(x, y, z) = x(x^2+y^2+z^2)^32 i + y(x^2+y^2+z^2)^32 j + z(x^2+y^2+z^2)^32 k
Esse campo é semelhante ao campo gravitacional ou elétrico de uma carga pontual no espaço. Ele tem uma simetria esférica e depende apenas da distância ao ponto de origem.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o teorema da divergência, que diz:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Onde V é o volume delimitado pela superfície S. Primeiro, precisamos calcular a divergência de F.

Passo 4

Calculando a divergência de F:
nabla cdot F = partialpartial x(x(x^2+y^2+z^2)^3/2) + partialpartial y(y(x^2+y^2+z^2)^3/2) + partialpartial z(z(x^2+y^2+z^2)^3/2)
Após calcular, percebemos que, exceto na origem, a divergência é zero:
nabla cdot F = 0 para (x, y, z) neq (0,0,0)

Passo 5

Como a divergência de F é zero em todo o volume V exceto possivelmente na origem, e nosso campo F é semelhante ao de uma carga pontual na origem, o fluxo total dependerá se a origem está dentro do volume V ou não.

Passo 6

Vamos analisar a superfície S = S1 cup S2:
  • S1 é parte do hiperboloide x^2+y^2-z^2=1 entre z=0 e z=raiz3.
  • S2 é a parte do plano z=raiz3 dentro do cilindro x^2+y^2=4.
Visualizando, podemos ver que a origem (0,0,0) está dentro do volume delimitado por S.

Passo 7

Pelo teorema da divergência, como a divergência de F é zero fora da origem e a origem está dentro do volume V, o fluxo total através de S é igual à contribuição na origem. Sabemos que para campos semelhantes a este, o fluxo através de uma superfície fechada que envolve a origem é 4pi.

Passo 8

Contudo, nossa superfície S não é completamente fechada. Ela consiste em S1 e S2. Para aplicar o teorema da divergência corretamente, precisaríamos fechar a superfície adicionando outra parte, mas como a divergência é zero dentro do volume que consideramos, o fluxo total através de S acaba sendo zero.

Resposta

0

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