Seja dado o campo
e seja
onde
é a porção do hiperboloide a uma folha
entre o planos
e
, com normal
apontando para fora, e
é a porção do plano
interna ao cilindro
, com normal
.
Calcule
Escolha uma opção:
0
Calcule
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0
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um exercício de cálculo vetorial onde precisamos calcular o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
que é a união de duas partes:
, que é uma parte de um hiperboloide de uma folha, e
, que é uma parte de um plano. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como o teorema da divergência, que nos ajuda a relacionar o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume delimitado pela superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o campo vetorial dado:
Esse campo é semelhante ao campo gravitacional ou elétrico de uma carga pontual no espaço. Ele tem uma simetria esférica e depende apenas da distância ao ponto de origem.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o teorema da divergência, que diz:
Onde
é o volume delimitado pela superfície
. Primeiro, precisamos calcular a divergência de
.
Passo 4
Calculando a divergência de
:
Após calcular, percebemos que, exceto na origem, a divergência é zero:
Passo 5
Como a divergência de
é zero em todo o volume
exceto possivelmente na origem, e nosso campo
é semelhante ao de uma carga pontual na origem, o fluxo total dependerá se a origem está dentro do volume
ou não.
Passo 6
Vamos analisar a superfície
:
-
é parte do hiperboloide entre e . -
é a parte do plano dentro do cilindro .
Visualizando, podemos ver que a origem
está dentro do volume delimitado por
.
Passo 7
Pelo teorema da divergência, como a divergência de
é zero fora da origem e a origem está dentro do volume
, o fluxo total através de
é igual à contribuição na origem. Sabemos que para campos semelhantes a este, o fluxo através de uma superfície fechada que envolve a origem é
.
Passo 8
Contudo, nossa superfície
não é completamente fechada. Ela consiste em
e
. Para aplicar o teorema da divergência corretamente, precisaríamos fechar a superfície adicionando outra parte, mas como a divergência é zero dentro do volume que consideramos, o fluxo total através de
acaba sendo zero.
Resposta
0