Seja dado o campo vetorial F(x, y)=(y, x) ao redor e através da curva a seguir alpha(t)=(cos (t), sen(t)), 0 <= t <= 2 pi.
Calcule a circulação ointC F cdot T d s;

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial F(x,y)=(y,x) e pede a circulação ao longo da curva C parametrizada por
alpha(t)=(cos t,sin t), 0<= t<=2pi
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial. Para resolver, vamos parametrizar C, calcular F(alpha(t)), o vetor diferencial dr e integrar o produto escalar.

Passo 2

Parametrizando C temos
alpha(t)=(cos t,sin t),
então
dr=alpha'(t),dt=(-sin t,cos t),dt e F(alpha(t))=(sin t,cos t)
Logo o integrando é
F(alpha(t))cdotdrdt =sin tcdot(-sin t)+cos tcdot(cos t) =cos(2t)

Passo 3

A circulação é
ointCFcdot dr =integral0^2picos(2t),dt
Para essa integral usamos a primitivazação de cos(2t):

Passo 4

Uma primitiva de cos(2t) é tfrac12sin(2t), então
integral0^2picos(2t),dt =l[tfrac12sin(2t)r]0^2pi =tfrac12l(sin(4pi)-sin(0)r) =0

Resposta

A circulação ointCFcdotT,ds vale 0.

Exercícios relacionados