Seja dado o campo vetorial
ao redor e através da curva a seguir
.
Calcule o fluxo
;
Calcule o fluxo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo do campo vetorial
ao redor da curva
, que é basicamente o círculo unitário. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, mais especificamente, fluxo de um campo vetorial através de uma curva. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que vai nos ajudar a transformar uma integral de linha complicada em uma integral dupla mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é fluxo. O fluxo
mede quanta “quantidade” do campo
está atravessando a curva
. Aqui,
é o vetor normal à curva e
é um elemento de comprimento ao longo da curva.
Passo 3
Vamos aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região
delimitada pela curva
. O Teorema de Green para fluxo diz que:
onde
. No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 5
Agora, substituindo na integral dupla:
Isso significa que o fluxo total do campo
através da curva
é zero.