Seja dado o campo vetorial F(x, y)=(x-y, y+x) ao redor e através da curva a seguir alpha(t)=(cos (t), sen(t)), 0 <= t <= 2 pi.
Calcule o fluxo ointC F cdot N d s;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo do campo vetorial F(x, y) = (x - y, y + x) ao redor da curva alpha(t) = (cos(t), sin(t)) , que é basicamente o círculo unitário. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, mais especificamente, fluxo de um campo vetorial através de uma curva. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que vai nos ajudar a transformar uma integral de linha complicada em uma integral dupla mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é fluxo. O fluxo ointC F cdot N , ds mede quanta “quantidade” do campo F está atravessando a curva C . Aqui, N é o vetor normal à curva e ds é um elemento de comprimento ao longo da curva.

Passo 3

Vamos aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região D delimitada pela curva C . O Teorema de Green para fluxo diz que:
ointC F cdot N , ds = integral duplaD ( partial Ppartial x - partial Qpartial y ) , dA
onde F = (P, Q) . No nosso caso, P = x - y e Q = y + x .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Ppartial x = partial (x - y)partial x = 1
partial Qpartial y = partial (y + x)partial y = 1
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
partial Ppartial x - partial Qpartial y = 1 - 1 = 0

Passo 5

Agora, substituindo na integral dupla:
integral duplaD 0 , dA = 0
Isso significa que o fluxo total do campo F através da curva C é zero.

Resposta

ointC F cdot N , ds = 0

Exercícios relacionados