Seja dado o campo vetorial F(x, y)=(y, x) ao redor e através da curva a seguir alpha(t)=(cos (t), sen(t)), 0 <= t <= 2 pi.
Calcule o fluxo ointC F cdot N d s;

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y)=(y,x)
e a curva C é o círculo de raio 1, parametrizado por
alpha(t)=(cos t,sin t), 0<= t<=2pi.
Pede-se o fluxo de F através de C com a normal externa, ou seja
Phi=ointCFcdot N,ds.
Para resolver, vamos aplicar o Teorema da Divergência (Teorema de Green na forma de fluxo).

Passo 2

Calculamos a divergência de F:
nablacdot F =partialpartial x(y)+partialpartial y(x) =0+0 =0

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência em duas dimensões, o fluxo é
Phi =integral duplaD(nablacdot F),dA =integral duplaD0,dA =0,
onde D é o disco interior ao círculo C.

Resposta

O fluxo pedido vale 0.

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