Seja z dado por z=cos theta+i sin theta. Mostre que: 21+z=1-i tan theta2.

Passo 1

O enunciado define o número complexo
z = costheta + isintheta
e pede para mostrar que
21+z = 1 - itantheta2
O conteúdo envolvido são formas trigonométricas de números complexos e identidades de ângulo metade.

Passo 2

Vamos escrever o denominador 1+z em termos de ângulos metade. Primeiro note que
1+costheta = 2cos^2theta2, sintheta = 2sintheta2costheta2
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1+z = 1 + costheta + isintheta = 2cos^2theta2 ;+; i,2sintheta2costheta2

Passo 3

Fatorando 2cos(theta/2) em 1+z temos
1+z = 2costheta2l(costheta2 + isintheta2r) = 2costheta2;e^,itheta/2
Assim
21+z = 22cos(theta/2),e^,itheta/2 = 1cos(theta/2),e^-,itheta/2

Passo 4

Escrevendo e^-itheta/2 = costheta2 - isintheta2 e dividindo por cos(theta/2), obtemos
21+z = costheta2 - isintheta2costheta2 = 1 - i,sin(theta/2)cos(theta/2) = 1 - itantheta2

Resposta

21+z = 1 - itantheta2

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