Usando a substituição w=z^2-z, encontre as quatro soluções de z^4-2 z^3-2 z^2+3 z-4=0.

Passo 1

O enunciado pede as raízes da equação quartica
z^4-2z^3-2z^2+3z-4=0
usando a substituição w=z^2-z. O conteúdo aqui é reduzir o polinômio a uma equação quadrática em w e depois voltar para z.

Passo 2

Primeiro expressamos as potências de z em função de w. Como
w = z^2 - z,
temos
w^2 = (z^2-z)^2 = z^4 - 2z^3 + z^2
Logo,
z^4-2z^3-2z^2+3z-4 = l(z^4-2z^3+z^2r);-;3z^2+3z-4 = w^2-3z^2+3z-4
Mas de w=z^2-z segue z^2=w+z. Substituindo:
w^2-3(w+z)+3z-4 = w^2-3w-4
Portanto a quartica vira a quadrática
w^2-3w-4=0

Passo 3

Resolvendo
w^2-3w-4=0
pela fórmula de Bhaskara,
w = 3pmraiz9+162 = 3pm52
Assim
w1=4, w2=-1

Passo 4

Agora voltamos a z via z^2-z=w.
Para w=4 resolvemos
z^2-z-4=0
Aplicando Bhaskara:
z = 1pmraiz1+162 = 1pmraiz172
Para w=-1 resolvemos
z^2-z+1=0
Daí
z = 1pmraiz1-42 = 1pm iraiz32

Resposta

As quatro soluções são
z = 1+raiz172, z = 1-raiz172, z = 1+iraiz32, z = 1-iraiz32

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