Sejam z e w dois números complexos. Mostre que: |z+w|^2-|z-w^*|^2=4 Re(z) Re(w).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois números complexos z e w, vale
|z+w|^2-|z-w^*|^2=4,Re(z),Re(w)
Estamos trabalhando com operações básicas em números complexos: soma, conjugado, módulo e parte real. Para resolver, vamos escrever z e w em termos de suas partes reais e imaginárias e aplicar a definição de módulo ao quadrado.

Passo 2

Sejam
z = x + i,y, w = u + i,v,
onde x = Re(z), y = Im(z), u = Re(w) e v = Im(w).
O conjugado de w é
w^* = u - i,v

Passo 3

Calculamos |z+w|^2. Como
z + w = (x+u) + i,(y+v),
temos pela definição de módulo ao quadrado:
|z+w|^2 = (x+u)^2 + (y+v)^2

Passo 4

Calculamos l|,z - w^*r|^2. Como
z - w^* = (x - u) + i,(y+v),
segue que
l|,z - w^*r|^2 = (x - u)^2 + (y+v)^2

Passo 5

Subtraindo as duas expressões:
|z+w|^2 - l|,z - w^*r|^2 = l[(x+u)^2 + (y+v)^2r] - l[(x-u)^2 + (y+v)^2r]
Os termos (y+v)^2 cancelam, restando
(x+u)^2 - (x-u)^2
Usando a identidade de diferença de quadrados, (a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab, obtemos
(x+u)^2 - (x-u)^2 = 4,x,u

Passo 6

Como x = Re(z) e u = Re(w), concluímos
|z+w|^2 - l|,z - w^*r|^2 = 4,Re(z),Re(w)

Resposta

|z+w|^2-|z-w^*|^2=4,Re(z),Re(w)

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