Verifique que 1-i 2 é raiz de z^4-6 z^3+18 z^2-30 z+25=0 e encontre as outras três raízes.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que ,1-2i é raiz do polinômio
z^4-6z^3+18z^2-30z+25=0
e, em seguida, encontrar as outras três raízes. Vamos usar o fato de que polinômios de coeficientes reais têm raízes conjugadas, fazer divisão por quadrática e resolver a outra equação quadrática resultante.

Passo 2

Substituímos z0=1-2i no polinômio. Primeiro calculamos potências de z0:
z0^2=(1-2i)^2=-3-4i, z0^3=z0^2,z0=(-3-4i)(1-2i)=-11+2i,
z0^4=z0^3,z0=(-11+2i)(1-2i)=-7+24i
Agora avaliamos
f(z0)=z0^4-6z0^3+18z0^2-30z0+25
=(-7+24i)-6(-11+2i)+18(-3-4i)-30(1-2i)+25
=(-7+24i)+(66-12i)+(-54-72i)+(-30+60i)+25
=(59+12i)+(-54-72i)+(-30+60i)+25=(5-60i)+(-30+60i)+25=-25+25=0
Logo, 1-2i é raiz.

Passo 3

Como os coeficientes são reais, a conjugada ,1+2i também é raiz. O fator quadrático associado é
(z-(1-2i))(z-(1+2i))=z^2-2z+5

Passo 4

Dividindo o polinômio original por z^2-2z+5 obtemos o quociente
z^2-4z+5
Assim
z^4-6z^3+18z^2-30z+25=(z^2-2z+5)(z^2-4z+5)

Passo 5

Resolvemos a equação quadrática
z^2-4z+5=0
pelo Fórmula de Bhaskara:
De<a=(-4)^2-4cdot1cdot5=16-20=-4,
z=4pmraiz-42=2pm i
Portanto as raízes são 2+i e 2-i.

Resposta

As raízes do polinômio são
1-2i, 1+2i, 2+i, 2-i

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