Seja dado um número natural
decomposto em fatores irredutíveis. Seja
um número natural tal que
divide n , para todo
, . . . , r. Mostre que
divide
para todo número natural a primo com m .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um número natural decomposto em fatores primos
e um natural tal que
divide
para todo
, vale
que divide
sempre que
. O conteúdo principal é usar o Teorema de Euler em cada fator primo e depois combinar os resultados.
e um natural
que
Passo 2
Primeiro aplicamos o Teorema de Euler em cada primo: como
, vale
Passo 3
Como por hipótese
divide
, existe inteiro
tal que
. Então elevando à potência
temos
Passo 4
A congruência acima mostra que para cada
Passo 5
Como os
são primos distintos, seus produtos são coprimos dois a dois. Daí, pelo princípio de divisão em fatores primos (ou CRT), o produto
divide
.
Resposta
m \mid a^n - 1