Seja V=f: R longrightarrow R.
Definamos:
I) (f+g): R longrightarrow R por (f+g)(x)=f(x)+g(x), forall x in R.
II) (alpha f): R longrightarrow R por (alpha f)(x)=alpha f(x), forall x in R.
Provar que,
(d) S=f0(x)=1, f1(x)=x, f2(x)=x^2 é l.i…

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V das funções reais em R com soma e produto escalar dados ponto a ponto, e pede para mostrar que o conjunto
S = f0,f1,f2,
onde
f0(x)=1, f1(x)=x, f2(x)=x^2,
é linearmente independente (l.i.). Para isso, usaremos a definição: S é l.i. se toda combinação linear
alpha0,f0(x) + alpha1,f1(x) + alpha2,f2(x) = 0
(igual a função zero para todo x) implica alpha0=alpha1=alpha2=0.

Passo 2

Suponha que existam escalares alpha0,alpha1,alpha2inR tais que, para todo xinR,
alpha0,f0(x) + alpha1,f1(x) + alpha2,f2(x) = 0
Substituindo as definições dos fi, obtemos uma igualdade de polinômios em x:
alpha0 + alpha1,x + alpha2,x^2 = 0, forall xinR

Passo 3

Como o polinômio
p(x) = alpha0 + alpha1,x + alpha2,x^2
é identicamente zero em todos os x, seus coeficientes devem ser nulos. Podemos extrair isso avaliando em pontos convenientes:
  1. Em x=0:
p(0)=alpha0=0
  1. Em x=1:
p(1)=alpha0+alpha1+alpha2=0 Longrightarrow alpha1+alpha2=0
  1. Em x=-1:
p(-1)=alpha0-alpha1+alpha2=0 Longrightarrow -alpha1+alpha2=0

Passo 4

Do sistema
alpha1+alpha2=0, -alpha1+alpha2=0,
somando as duas equações vem 2alpha2=0, logo alpha2=0. Substituindo em alpha1+alpha2=0 alpha1=0. Já tínhamos alpha0=0. Portanto
alpha0=alpha1=alpha2=0

Resposta

O conjunto S=1,x,x^2 é linearmente independente.

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