Seja
.
Definamos:
I)
por
.
II)
por
.
Provar que,
(d)
é l.i…
Definamos:
I)
II)
Provar que,
(d)
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
das funções reais em
com soma e produto escalar dados ponto a ponto, e pede para mostrar que o conjunto
onde
é linearmente independente (l.i.). Para isso, usaremos a definição:
é l.i. se toda combinação linear
(igual a função zero para todo
) implica
.
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que, para todo
,
Substituindo as definições dos
, obtemos uma igualdade de polinômios em
:
Passo 3
Como o polinômio
é identicamente zero em todos os
, seus coeficientes devem ser nulos. Podemos extrair isso avaliando em pontos convenientes:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Passo 4
Do sistema
somando as duas equações vem
2alpha2=0 , logo
alpha2=0 . Substituindo em
alpha1+alpha2=0 dá
alpha1=0 . Já tínhamos
alpha0=0 . Portanto
Resposta
O conjunto
S=1,x,x^2 é linearmente independente.