Seja .
Definamos:
I) por .
II) por .
Provar que,
(f) é l.d…
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial de todas as funções com soma e múltiplo escalar definidos ponto a ponto. Queremos mostrar que o conjunto
é linearmente dependente, ou seja, que existem escalares , não todos nulos, tais que
é a função zero.
Passo 2
Escrevemos a combinação linear e avaliamos em :
Agrupando termos em potências de , obtemos
Passo 3
Como queremos que essa função seja identicamente zero em todo , o polinômio acima deve ser o polinômio zero. Logo, seus coeficientes satisfazem o sistema
Passo 4
Para exibir uma solução não trivial, basta escolher um valor não nulo para alpha3. Tomando, por exemplo, alpha3=1, temos
alpha1=-2, alpha2=-3, alpha0=0,
e claramente nem todos os alphai são zero. Isso mostra que existe combinação linear não trivial que gera a função zero, ou seja, S é linearmente dependente.