Seja V=f: R longrightarrow R.
Definamos:
I) (f+g): R longrightarrow R por (f+g)(x)=f(x)+g(x), forall x in R.
II) (alpha f): R longrightarrow R por (alpha f)(x)=alpha f(x), forall x in R.
Provar que,
(f) S=f0(x)=1, f1(x)=x, f2(x)=x^2, f3(x)=2 x+3 x^2 é l.d…

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial V de todas as funções f:RtoR com soma e múltiplo escalar definidos ponto a ponto. Queremos mostrar que o conjunto
S=lf0(x)=1,;f1(x)=x,;f2(x)=x^2,;f3(x)=2x+3x^2r
é linearmente dependente, ou seja, que existem escalares alpha0,alpha1,alpha2,alpha3, não todos nulos, tais que
alpha0f0+alpha1f1+alpha2f2+alpha3f3
é a função zero.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear e avaliamos em x:
(alpha0f0+alpha1f1+alpha2f2+alpha3f3)(x) =alpha0cdot1+alpha1,x+alpha2,x^2+alpha3(2x+3x^2)
Agrupando termos em potências de x, obtemos
alpha0+(alpha1+2alpha3),x+(alpha2+3alpha3),x^2

Passo 3

Como queremos que essa função seja identicamente zero em todo R, o polinômio acima deve ser o polinômio zero. Logo, seus coeficientes satisfazem o sistema
alpha0=0, alpha1+2alpha3=0, alpha2+3alpha3=0

Passo 4

Para exibir uma solução não trivial, basta escolher um valor não nulo para alpha3. Tomando, por exemplo, alpha3=1, temos
alpha1=-2, alpha2=-3, alpha0=0,
e claramente nem todos os alphai são zero. Isso mostra que existe combinação linear não trivial que gera a função zero, ou seja, S é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto S é linearmente dependente.

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