Seja
.
Definamos:
I)
por
.
II)
por
.
Provar que,
(b)
é fechado em relação ao produto por escalar acima definido.
Definamos:
I)
II)
Provar que,
(b)
Passo 1
O enunciado apresenta
e define o produto por escalar em por
.
Queremos mostrar que, para todo e toda
, o resultado
pertence a
.
e define o produto por escalar em
Queremos mostrar que, para todo
Passo 2
Lembrando a definição de fechamento em relação ao produto por escalar:
um conjunto é fechado sob multiplicação por escalar se
um conjunto
Aqui
é o conjunto de todas as funções de
em
, então basta verificar que
é de fato uma função de
em
.
Passo 3
Seja
e
.
Por definição de ,
é uma função
.
Definimos por
Por definição de
Definimos
Como
e
, segue que
para todo
.
Logo é também uma função de
em
, ou seja
.
Logo
Resposta
V é fechado em relação ao produto por escalar, pois para todo
e
a função
está em
.