Seja V=f: R longrightarrow R.
Definamos:
I) (f+g): R longrightarrow R por (f+g)(x)=f(x)+g(x), forall x in R.
II) (alpha f): R longrightarrow R por (alpha f)(x)=alpha f(x), forall x in R.
Provar que,
(b) V é fechado em relação ao produto por escalar acima definido.

Passo 1

O enunciado apresenta
V=f:RtoR
e define o produto por escalar em V por
(alpha f)(x)=alpha,f(x).
Queremos mostrar que, para todo alphainR e toda fin V, o resultado alpha f pertence a V.

Passo 2

Lembrando a definição de fechamento em relação ao produto por escalar:
um conjunto V é fechado sob multiplicação por escalar se
forall alphainR, forall fin V, alpha fin V
Aqui V é o conjunto de todas as funções de R em R, então basta verificar que alpha f é de fato uma função de R em R.

Passo 3

Seja alphainR e fin V.
Por definição de V, f é uma função f:RtoR.
Definimos alpha f por
(alpha f)(x)=alpha,f(x), xinR
Como f(x)inR e alphainR, segue que alpha,f(x)inR para todo x.
Logo alpha f é também uma função de R em R, ou seja alpha fin V.

Resposta

V é fechado em relação ao produto por escalar, pois para todo alphainR e fin V a função alpha f:RtoR está em V.

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