Seja V=f: R longrightarrow R.
Definamos:
I) (f+g): R longrightarrow R por (f+g)(x)=f(x)+g(x), forall x in R.
II) (alpha f): R longrightarrow R por (alpha f)(x)=alpha f(x), forall x in R.
Provar que,
(e) S=f0(x)=1, f1(x)=1+x+x^2 é l.i…

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V de todas as funções f:RtoR com a soma e multiplicação por escalar usuais, e pede para mostrar que
S = f0,f1, f0(x)=1,;f1(x)=1+x+x^2,
é um conjunto linearmente independente em V. Vamos usar a definição de independência linear: uma combinação linear que dê a função nula só pode ter coeficientes todos zero.

Passo 2

Suponha que existam alpha0,alpha1inR tais que
alpha0f0 + alpha1f1 = 0
na forma de função nula, isto é,
(alpha0f0 + alpha1f1)(x) = 0,forall xinR

Passo 3

Calculemos o lado esquerdo como polinômio em x:
(alpha0f0 + alpha1f1)(x) = alpha0cdot1 + alpha1(1 + x + x^2) = (alpha0 + alpha1) + alpha1,x + alpha1,x^2
Como isso deve ser zero para todo x, obtemos a identidade do polinômio nulo.

Passo 4

Na identidade
(alpha0 + alpha1) + alpha1,x + alpha1,x^2 equiv 0,
os coeficientes de x^2 e de x dão
alpha1 = 0
O coeficiente constante dá
alpha0 + alpha1 = 0 ;Longrightarrow; alpha0 = 0
Logo, os únicos coeficientes que satisfazem são alpha0=alpha1=0.

Resposta

O conjunto S é linearmente independente.

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