Seja
.
Definamos:
I)
por
.
II)
por
.
Provar que,
(e)
é l.i…
Definamos:
I)
II)
Provar que,
(e)
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
de todas as funções
com a soma e multiplicação por escalar usuais, e pede para mostrar que
é um conjunto linearmente independente em
. Vamos usar a definição de independência linear: uma combinação linear que dê a função nula só pode ter coeficientes todos zero.
Passo 2
Suponha que existam
tais que
na forma de função nula, isto é,
Passo 3
Calculemos o lado esquerdo como polinômio em
:
Como isso deve ser zero para todo
, obtemos a identidade do polinômio nulo.
Passo 4
Na identidade
os coeficientes de
e de
dão
O coeficiente constante dá
Logo, os únicos coeficientes que satisfazem são
.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente.